Cónicas

Fecha de primera versión: 26-09-01
Fecha de última actualización: 19/04/2010

Las curvas (como elipse, la parábola y la hipérbola) que se obtienen al seccionar un cono por un plano se llaman cónicas.

Si desarrollamos la ecuación (ax + by + c)² = 0 podemos expresarla de esta forma:

a₀₀ + 2a₀₁x + 2a₀₂y + a₁₁x² + 2a₁₂xy + a₂₂y² = 0

Esta es la ecuación general de cualquier cónica.

Esta ecuación se puede expresar elegantemente en forma matricial:

Si el determinante de la matriz de coeficientes es igual a cero, se dice que la cónica es degenerada y no degenerada en caso contrario.

La ecuación general puede simplificarse (girando y trasladando los ejes coordenados) de forma que sólo queden los términos elevados al cuadrado y el término independiente. Esta forma de la ecuación se llama ecuación reducida o canónica de la cónica.

Haciendo los cambios oportunos la ecuación general se puede transformar en una de los siguientes:

x² / a² + y² / b² = 1  (elipse, cuando a = b circunferencia).
x² / a² + y² / b² = -1  (elipse imaginaria).
x² / a² + y² / b² = 0  (par de rectas imaginarias que se cortan en un punto real).
x² / a² - y² / b² = 1  (hipérbola).
x² / a² - y² / b² = 0  (par de rectas reales que se cortan).
x²  -  2py = 0 (parábola).
y²  -  2px = 0 (parábola).
x²  -  a²  = 0  (par de rectas reales paralelas).
x²  +  a²  = 0  (par de rectas imaginarias paralelas).
x²  = 0  (par de rectas reales coincidentes).

Conversión de la ecuación general a su forma reducida o canónica

Sea a₀₀ + 2a₀₁x + 2a₀₂y + a₁₁x² + 2a₁₂xy + a₂₂y² = 0 la ecuación que tenemos que convertir a su forma reducida. 

Haciendo un giro de ángulo a, las nuevas coordenadas (x ', y ') quedarían de acuerdo con las fórmulas de giro de coordenadas (ver Coordenadas rectangulares)

x = x'cosa - y'sena
y = x'sena + y'cosa

Sustituyendo en la ecuación general las fórmulas del giro de coordenadas y operando nos queda

a₀₀ + 2a'₀₁x' + 2a'₀₂y' + a'₁₁x'² + 2a'₁₂x'y' + a'₂₂y'² = 0

Los más atentos se habrán dado cuenta que a₀₀ no tiene el ' y puede que crean que es un error. Pues no. a₀₀ no cambia (se dice que es un invariante).

Los más valientes que hagan las operaciones comprobarán lo anterior y también que 2a'₁₂ = - (a₁₁ - a₂₂)sen(2a) + 2a₁₂cos(2a). 

Para que nos desaparezca el término en x'y' tenemos que hacer a'₁₂ = 0, entonces:

(a₁₁ - a₂₂)sen(2a) = 2a₁₂cos(2a) . Dividiendo todo por 2a₁₂cos(2a) y despejando queda:

tan(2a) =  2a₁₂ / (a₁₁ - a₂₂)

Por lo tanto, eligiendo el ángulo de giro de tal forma que la tangente del doble del ángulo sea igual al cociente indicado nos desaparece el término en xy y la ecuación nos queda así:

a₀₀ + 2a'₀₁x' + 2a'₀₂y' + a'₁₁x'² + a'₂₂y'² = 0

Ahora haciendo una traslación de los ejes (los nuevos serán x'', y'') eliminaremos los términos en x' e y'. Las fórmulas de traslación son (ver Coordenadas rectangulares):

x' = x'' + h  
y' = y'' + k 

Sustituyendo en la ecuación general las fórmulas de la traslación de coordenadas y operando nos queda

a''₀₀ + 2a''₀₁x'' + 2a''₀₂y'' + a'₁₁x''² + a'₂₂y''² = 0

Los valientes que lo hagan verán que a''₀₁ = a'₁₁h + a'₀₁ y que a''₀₂ = a'₂₂k + a'₀₂  

Para que a''₀₁ = 0 tenemos que hacer h = - a'₀₁/a'₁₁ . Claro que esto sólo se puede hacer si a'₁₁ no es cero.  

Para que a''₀₂ = 0 tenemos que hacer k = - a'₀₂/a'₂₂ . Claro que esto sólo se puede hacer si a'₂₂ no es cero.  

A veces es mejor hacer antes la traslación y después el giro.

En la página http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Curves/Curves.html encontrarás todo sobre las curvas.