Elipse
Fecha de primera versión: 02-04-98
Fecha de última actualización: 19/04/2010
La elipse, la parábola y la hipérbola se llaman secciones cónicas. La razón de este nombre es que estas curvas se forman al seccionar un cono por un plano.
Otra forma de definir estas curvas (en vez de como secciones de un cono) es como la curva que describe un punto que se mueve en un plano de manera que el cociente entre las distancias de ese punto a un punto fijo (foco) y a una recta (directriz) es constante (excentricidad).
Si esta constante está comprendida entre cero y uno, la curva es una elipse. Si es igual a uno, es una parábola y si es mayor que uno es una hipérbola.
Menaechmo, un discípulo de Platon y Eudoxo, estudió la elipse.
Euclides también estudió esta curva, pero ha pasado a la historia de la mano de Apolonio, al que debe su nombre.
Esta es la razón del nombre de la elipse:
La parábola se puede expresar por esta ecuación y2 = kx, siendo k = 2b2/a. Esto quiere decir que en cualquier punto de la parábola podemos construir un cuadrado de lado y (la ordenada del punto) y un rectángulo de lados x (la abscisa del punto) y k, y las áreas del cuadrado y el rectángulo siempre serán iguales.
Si hacemos lo mismo en una hipérbola el cuadrado siempre será mayor y en una parábola el cuadrado siempre es menor.
Resulta que una de las acepciones de parábola en griego era equiparable, de elipse deficiencia y de hipérbola exceso. De ahí los nombres.
Otros muchos matemáticos la estudiaron: Keppler (descubrió que la trayectoria de los planetas al rededor del sol son elipses).
Esto
es una elipse. La propiedad de esta curva es que la suma de las distancias
de cualquier punto de la curva a dos puntos fijos (F1 y F2) es constante.
Los puntos F1 y F2 se llaman focos.
Los ejes se llaman eje mayor y eje menor.
Los puntos A, B, C y D se llaman vértices.
El 'achatamiento' (el nombre correcto es excentricidad) de la elipse se mide por el cociente entre c y a (e = c/a).
c2 = a2 - b2
La ecuación de la elipse es x2/a2 + y2/b2 = 1.
La demostración de la ecuación de la elipse es muy sencilla: La distancia desde F2 (-c, 0) a un punto cualquiera (x, y) de la elipse es:
La ecuación paramétrica de la elipse es:
x = a·cosf
y = b·senf
Estas ecuaciones se deducen de la anterior teniendo en cuenta que cos2f + sen2f = 1.
Las ecuaciones de las rectas directrices son:
x = a2/c
x = - a2/c
Como veis la ecuación de la elipse es muy parecida a la de la circunferencia.
La longitud de la elipse no tiene una fórmula sencilla y la resolución de la integral que se necesita para calcular la longitud de la elipse es bastante difícil.
El área de la superficie comprendida dentro de la elipse es A = p ab.
La ecuación de una elipse con centro en (x0,y0) y eje mayor paralelo al eje x es:
(x - x0)2/a2 + (y - y0)2/b2 = 1
Propiedades de la elipse
Los radios focales de la elipse en un punto forman ángulos iguales con la tangente en ese punto.
Construcción de la elipse
1- Dibuja una circunferencia en una hoja de papel.
2- Dibuja un punto dentro de la circunferencia (que no coincida con el
centro).
3- Dobla la hoja de manera que cualquier punto de la circunferencia coincida
con el punto dibujado.
4- Deshaz la doblez.
5- Repite las operaciones 3 y 4 haciendo coincidir otro punto de la
circunferencia.
Las marcas que han dejado las dobleces delimitan una elipse. El punto dibujado es uno de los focos, el otro foco es el centro de la circunferencia.
En la página http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Curves/Curves.html encontrarás todo sobre las curvas.