Números

Fecha de primera versión: Junio 1997
Fecha de última actualización: 19/04/2010

Los primeros números se usaron para contar cosas. Son los números Naturales (se representan por N). La cantidad de números naturales es infinita.

El término números Naturales aparece por primera vez en 1763 en The method of increments de William Emerson.

Mucho más tarde, recuérdese que los romanos no tenían el número cero, probablemente como consecuencia de las relaciones comerciales y los préstamos, se introdujeron el cero y los números negativos, que junto con el conjunto de los números naturales, forman los números Enteros (se representan por Z. La denominación proviene de Zahl, número en alemán).

El cero lo inventaron los indios (India) por el año 500, los indios denominaron a este símbolo sunya, que quiere decir "vacío". Los árabes, que tenían relaciones comerciales con la India, aprendieron la numeración india y la divulgaron, posteriormente, a Occidente. Los árabes lo denominaron céfer, que en su idioma quiere decir "vacío". Esta palabra dio origen a las palabras castellanas cero y cifra.

La introducción de los números negativos es muy reciente. La mayoría de los matemáticos de los siglos XVI y XVII no aceptaban los números negativos. Consideraban absurdo restar 8 de 0, y cuando una ecuación daba raíces negativas consideraban esa solución como imposible. Un argumento de peso en contra de los números negativos se deriva de la proporción -1/1 : 1/-1 (¿cómo va a ser un menor a un mayor como un mayor a un menor?).

La cantidad de números enteros es infinita y hay la misma cantidad de números naturales que de números enteros.

Posteriormente, y también probablemente, debido a las relaciones comerciales, aparecieron los números que representan trozos de un todo que se ha dividido en partes iguales. Estos números se llaman números Racionales (y se representan por Q). La cantidad de números racionales es infinita y hay la misma cantidad de números naturales que de números racionales.

Los números racionales nos producen problemas porque no los 'vemos' como un número, sino como un número divido por otro. Es importante tener siempre presente que 1/2, es un número, no 1 divido entre 2. 

Los únicos números que había en tiempos de Pitágoras eran los números naturales. Lo que hoy conocemos como números fraccionarios era considerado como una proporción entre números. El problema se les presentó a los pitagóricos cuando intentaron medir la diagonal de un cuadrado de lado 1:  Se dieron cuenta que no se podía expresar con los números que tenían (era una longitud inconmensurable). Se dice que prohibieron revelar este descubrimiento a los discípulos, porque ellos defendían que todo se podía reducir a número.

El primer número no racional que se 'descubrió' fue y el segundo p.

Si quieres ver la demostración de que la diagonal de un cuadrado de lado 1 no se puede representar con un número racional pulsa aquí: Números reales.

Estos números se llaman irracionales algebraicos, porque se pueden obtener del álgebra, por ejemplo,se deduce de x² = 2 y junto con los números transcendentes (los que no se pueden obtener del álgebra, por ejemplo el número p y el número e) forman los números Reales (se representan por R). La cantidad de números reales es infinita pero hay más números reales que números naturales.

El término números reales fue usado por Descartes en 1637.

La resolución de ecuaciones del tipo x² + 2 = 0, planteó el mismo problema que se le presentó a los pitagóricos. No existe ningún número (de los que hemos visto) que cumpla esta condición, por lo que definimos un nuevo tipo de números que llamamos Complejos (se representan por C).

Los números complejos tuvieron éxito en la resolución de varios problemas de Física, por lo que se intentó generalizar el concepto a más de dos dimensiones: a estos números se llamarían números Hipercomplejos.

Es muy frecuente, en este tema de los números, representar los números con este diagrama. Este diagrama es correcto en el sentido de que unos conjuntos de números contienen a otros pero no quiere decir que haya más números de un tipo que de otro.

La Teoría de números se inicia con Euclides en su libro Elementos, continúa con Diofanto en su libro Aritmetica a continuación Fermat, después Euler, Legendre y Gauss.