Números complejos
Fecha de primera versión: 28-11-98
Fecha de última actualización: 07-10-00
Los números complejos surgen al resolver ecuaciones algebraicas en las que hay que calcular raíces cuadradas de números negativos.
Algo parecido les ocurrió a los pitagóricos al intentar medir la diagonal de un cuadrado de lado 1, se dieron cuenta que no había ningún número (sólo conocían los números naturales y fraccionarios) que midiese la diagonal. Esto dio origen a los números reales.
Los números naturales, enteros, fraccionarios y reales se pueden representar como puntos de una recta (la recta de los números reales). Los números complejos podemos imaginarlos como puntos de un plano (el plano de los números complejos). En ese plano podemos trazar unos ejes perpendiculares que nos sirvan de referencia para localizar los puntos del plano.
Lo habitual es utilizar las coordenadas del punto (x,y). Cuando representamos un número complejo de esta forma decimos que está en forma cartesiana. Esta interpretación de los números complejos (considerarlos puntos en un plano) se debe a Gauss y a Hamilton.
También se suele utilizar un vector para localizar el punto. En efecto, un vector con principio en el origen de coordenadas y fin en el punto, identifica el punto de una manera inequívoca. Ahora bien, ese vector lo podemos descomponer en dos vectores: un vector con principio en el origen de coordenadas y fin el valor de la abscisa del punto (x,y), y otro vector con principio el origen de coordenadas y fin la ordenada del punto (x,y). Entonces el punto se representaría como una suma de vectores a + b. Ahora bien, si definimos unos vectores unitarios sobre el eje X y sobre el eje Y, podemos representar el número de esta forma xr + yi. Los vectores r e i tienen módulo 1, además el vector i se define cumpliendo esta condición: i2 = -1. Cómo r tiene módulo 1 y sus potencias también son 1, no se escribe, quedando por lo tanto el número en la forma x + yi. Esta forma de representar un número complejo se llama forma binaria.
Una última forma de localizar el punto es dando la distancia (que llamaremos r) desde el punto al origen de coordenadas (medido sobre el segmento que une los dos puntos) y el ángulo (que llamaremos a ) que forma el segmento con el eje X. En este caso, se puede representar la posición del punto calculando las coordenadas (x = rcosa , y = rsena ), esta forma se llama forma trigonométrica. También se puede representar la posición del punto por ra esta forma se llama forma polar.
Hay una última forma de expresar un número complejo, es la forma exponencial. Un número complejo en forma polar se expresa como z = r(cosa + i sena). Si sustituimos el contenido del paréntesis por la igualdad de Euler eia = cosa + i sena, nos queda z = r·eia.
Es muy fácil pasar de una forma a otra si habéis comprendido la explicación. De todas formas podéis ver los problemas resueltos.
Complejo conjugado
Dado un número complejo (x,y) el complejo conjugado sería (x,-y).
Si al número complejo lo representamos por n, el complejo conjugado se representa por n con una raya encima del número.
Complejo opuesto
Dado un número complejo (x,y) el complejo opuesto sería (-x,-y)
Si al número complejo lo representamos por n, el complejo opuesto se representa por n'.
Norma
La norma del número complejo (x,y) es x2 + y2.
Módulo
El modulo del número complejo a = x + iy, se representa por |a|, es la raíz cuadrada de x2 + y2.
Operaciones con números complejos
Suma
Para sumar (o restar) números complejos lo mejor es poner los números en forma cartesiana o binómica.
Forma cartesiana: (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)
Forma binómica: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
Producto
La forma más fácil es la polar, pero también se pueden utilizar las formas cartesiana y binómica.
Forma cartesiana: (a, b).(c, d) = (ac - bd, ad +bc)
Forma binómica: (a + bi) . (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i
Forma polar: ra .sb = r.sa +b
Forma exponencial: z·z' = r·r'·ei(a + a').
Cociente
La forma más fácil es la polar, y es la que se utiliza habitualmente.
Forma polar: ra / sb = r / sa -b
Forma exponencial: z/z' = r/r'·ei(a - a').
Potencia
La forma más fácil es la polar, y es la que se utiliza habitualmente.
Forma polar (ra )n = (rn)na
Forma exponencial: zn = rn·ei(na).
Raíces
La forma más fácil es la polar, y es la que se utiliza habitualmente.
La fórmula es la misma que para la potencia sustituyendo n por 1/n.
Fórmulas de Moivre
En el cálculo de la potencia de un número complejo se suelen utilizar las fórmulas de Moivre.
(ra)n = (rn)na = rn(cos na + i sen na )
(ra)n = rn(cos a + i sen a )n
De donde se deduce que (cos na + i sen na ) = (cos a + i sen a )n