Números Hipercomplejos
Fecha de primera versión: 13-07-99
Fecha de última actualización: 13-07-99
Los números complejos fueron aplicados con éxito en la resolución de varios problemas de la Física, por lo que se intentó generalizar el concepto y definir números formados por ternas, cuaternas, etc.
Se definen entonces los números hipercomplejos de rango n por un conjunto de n números reales (a1, a2, ... an).
Los números hipercomplejos (a1, a2, ... an) y (b1, b2, ... bn) se dice que son iguales si a1 = b1, a2 = b2, ... an = bn.
La suma de dos números hipercomplejos se define de esta manera:
(a1, a2, ... an) + (b1, b2, ... bn) = (a1 + b1, a2 + b2 + ... + an + bn)
La operación de multiplicación de un número hipercomplejo por un número real se define como:
k(a1, a2, ... an) = (ka1, ka2, ... kan)
La operación de multiplicación de dos números hipercomplejos es mas complicada porque se quiere que tengan las mismas propiedades que la multiplicación de números reales.
Definidas las operaciones de suma y multiplicación, tendrían que cumplirse las siguientes propiedades:
1- La suma de dos números tiene que ser única.
2- El producto de dos números tiene que ser único.
3- Existe un número cero con la propiedad a + 0 = a para todo a.
4- Para todo a existe un número x que cumple a + x = 0
5- La suma tiene la propiedad conmutativa a + b = b + a
6- La suma tiene la propiedad asociativa (a + b) + c = a + (b + c)
7- La multiplicación tiene la propiedad conmutativa ab = ba
8- La multiplicación tiene la propiedad asociativa (ab)c = a(bc)
9- La multiplicación es distributiva respecto a la suma a(b + c) = ab + ac
10- Para todo a y todo b (no cero), existe un único número x que verifica bx = a.
Si se cumplen estas diez condiciones se dice que el conjunto es un cuerpo.
A principios del siglo XIX se descubrió que no era posible definir un sistema de números hipercomplejos que cumpliesen las 10 propiedades.
Hamilton, un matemático irlandés definió los cuaternos (números cuádruples) que cumplen todas las propiedades excepto la séptima.