Derivadas

Fecha de primera versión: 27-08-98
Fecha de última actualización: 25-08-00

Historia

El concepto de derivada fue desarrollado por Leibniz y Newton. Leibniz fue el primero en publicar la teoría, pero parece ser que Newton tenía papeles escritos (sin publicar) anteriores a Leibniz. Debido a la rivalidad entre Alemania e Inglaterra, esto produjo grandes disputas entre los científicos proclives a uno y otro país.

Newton llegó al concepto de derivada estudiando las tangentes y Leibniz estudiando la velocidad de un móvil.

Concepto

El concepto de derivada es muy fácil de comprender. Dada una función y = f(x), la derivada mide la variación de y, cuando hay una pequeña variación de x.

La definición de la derivada de la función y=f(x), es:

Por lo tanto, para que exista la derivada de una función en un punto, tiene que existir ese límite. Cuando no existe este límite, se dice que la función no es derivable en ese punto.

Para representar la derivada de una función se utilizan los símbolos: y', f'(x) y dy/dx (es muy importante darse cuenta que dy/dx es un símbolo y no una fracción. Esta notación de la derivada, se llama notación de Leibniz.)

El símbolo f´(x), para las derivadas, fue introducido por Lagrange en 1797 en Théorie des fonctions analytiques.

Fórmulas de derivación

Derivada de una función implícita

A veces nos piden que calculemos la dy/dx de una función en la forma f(x,y) = 0. En este caso, podemos utilizar uno de los siguientes métodos:

a) Despejar y en función de x y derivar. No se debe utilizar este método, salvo que la ecuación resultante sea muy sencilla.

b) Derivar la ecuación con respecto a x, teniendo en cuenta que y es función de x, y despejar y'.

Derivada de una función inversa

A veces nos piden que calculemos la dy/dx de la función x = f(y). En este caso, podemos utilizar uno de los siguientes métodos:

a) Despejar y en función de x y derivar.

b) Utilizar esta fórmula:

Derivada de una función de función

A veces nos piden que calculemos la dy/dx de la función y = f(u), siendo u = g(x). En este caso podemos utilizar uno de los siguientes métodos: