Espacio afín
Fecha de primera versión: 20-11-2001
Fecha de última actualización:
19/04/2010
Supongamos que tenemos un conjunto A, a cuyos elementos llamaremos puntos, y un espacio vectorial B.
Definamos la aplicación entre el producto cartesiano A x B y el conjunto A (lo representamos A x B -----------> A) de tal manera que a cada par (P,v) perteneciente a A x B le corresponde un punto Q = P + v (la expresión P + v no es una suma, es una notación, para representar que el punto Q es una imagen de P y v).
El conjunto A es un espacio afín asociado al espacio vectorial B, si se cumplen estas dos condiciones:
1- Para todo par de puntos P, Q pertenecientes al conjunto A, sólo existe un único vector v, perteneciente a B, tal que Q = P + v.
2- Para todo P perteneciente a A y para todo u, v perteneciente a E se cumple (P + u) + v = P + (u + v).
El espacio vectorial B se llama espacio de dirección de A.
Cualquier subconjunto de A con estructura de espacio afín, es un subespacio afín.
Si A1 y A2 son subespacios afines no disjuntos, con espacios de direcciones B1 y B2 respectivemente, el conjunto intersección de A1 y A2 es un subespacio afín y es igual a P + (B1 intersección B2), perteneciendo P al conjunto intersección A1, A2.
Una referencia afín de un espacio afín A es un conjunto formado por un punto, perteneciente a A, llamado origen de referencia, y una base del espacio B.
Sea A1 = {P + v / P pertenece A y v pertenece a B1} siendo B1 un subespacio vectorial de B
El conjunto A1 es una variedad lineal (se representa A1 = P + B1) que pasa por P y con B1 como subespacio de dirección.