Aplicaciones

Para que le perdáis el miedo a este concepto os diré que las funciones son un caso particular de las aplicaciones. Las funciones son aplicaciones entre conjuntos de números.

Definición

Sean dos conjuntos A y B. Establezcamos una correspondencia o relación entre los elementos del conjunto A y los elementos del conjunto B. 

Por ejemplo: Sean a₁, a₂, a₃, ... elementos del conjunto A y b₁, b₂, b₃, ... elementos del conjunto B. Supongamos que el elemento a₁ esta relacionado con los elementos b₁ y b₂, que el elemento a₂ esta relacionado con el elemento b₃ y que a₃ esta relacionado con b₁. 

Esta correspondencia entre los elementos de los dos conjuntos puede representarse por un subconjunto del producto cartesiano A x B que se llama grafo de la relación. 

En nuestro ejemplo el grafo sería {(a₁,b₁), (a₁,b₂), (a₂,b₃), (a₃,b₁)}.

Una relación entre A y B de grafo G es una aplicación de A en B si para cada x perteneciente a A sólo existe un elemento y perteneciente a B tal que el par x,y pertenece a G.

Nuestro ejemplo no es una aplicación porque el elemento a₁ está relacionado con dos elementos: b₁ y b₂.

Al igual que en las funciones, en las aplicaciones existen los conceptos dominio e imagen.

Dominio es el conjunto de elementos de A para los que la aplicación produce una imagen, tal que el par (x,y) pertenece al conjunto G.

Imagen es el conjunto de elementos de B para los que existe un elemento en el conjunto A tal que el par (x,y) pertenece al conjunto G.

Tipos de aplicaciones

Inyectiva: Si ningún elemento de A comparte imagen

Por ejemplo: si una aplicación relaciona a1 con b1 y a2 con b1, no es inyectiva porque dos elementos distintos comparten la misma imagen.  

Sobreyectiva (también se llama suprayectiva, exhaustiva y sobre): Si todos los elementos de B son imagen de alguno de A.

Biyectiva: Si es inyectiva y sobreyectiva.

Composición de aplicaciones

Sea f es una aplicación de A en B y g es una aplicación de B en C. Si la imagen de f está contenida en el dominio de g, entonces se puede definir una aplicación h de A en C de la forma:

h(x) = g[f(x)] para todo x perteneciente al dominio de f.

Aplicación recíproca

Es una aplicación que se representa por f ^-1 tal que la composición f ^-1[f(x)] = x.