El Instituto de Matemáticas Clay es una fundación privada, sin ánimo de lucro, dedicada a estimular y divulgar el conocimiento de las matemáticas.
A estos efectos ha establecido un premio de un millón de dólares USA a la persona, o personas, que resuelvan uno de estos siete problemas:
Stephen Cook y Leonid Levin formularon este problema independientemente en 1971.
Stephen Cook lo explicó con un ejemplo semejante a éste. Usted llega a una fiesta, el salón está lleno de gente y se pregunta si conoce a alguna persona de la fiesta. Se lo pregunta al anfitrión y este le dice que usted conoce a la persona que está en la ventana. Inmediatamente usted ratifica lo dicho por el anfitrión (es fácil comprobarlo). Sin embargo, si no tuviese esta ayuda , tendría que examinar una a una a toda la gente y determinar si la conoce. Tardaría mucho tiempo en hacer esta operación.
La explicación de las siglas P y NP se refieren a los tiempos "polinómico" y "polinómico no determinista".
http://www.claymath.org/prizeproblems/pvsnp.htm
Durante el siglo XX, los matemáticos descubrieron formas de investigar las formas de objetos complicados. La idea básica es preguntar en qué medida podemos aproximar la forma de un objeto dado uniendo formas geométricas simples.
La conjetura de Hodge dice que para un tipo particular de formas, llamadas variedades algebraicas proyectivas, las formas llamadas ciclos de Hodge son combinaciones de formas geométricas llamadas ciclos algebraicos.
http://www.claymath.org/prizeproblems/hodge.htm
Henri Poincaré era el rival francés del alemán Hilbert.
Poincaré llegó a unas conclusiones sobre las esferas en el espacio de tres dimensiones que, posteriormente, han resultado imposible trasladar al espacio de cuatro dimensiones. Esta incógnita resultó ser extraordinariamente difícil en el momento de su planteamiento y los matemáticos siguen hoy luchando por darle una solución.
http://www.claymath.org/prizeproblems/poincare.htm
Los números primos han traído de cabeza a los matemáticos desde los inicios de las matemáticas.
Uno de los temas que se resiste es la distribución de los números primos (no parece seguir ningún patrón regular). El matemático alemán Georg Riemann propuso en el siglo XIX, que su frecuencia está íntimamente relacionada con el comportamiento de una función matemática llamada función Zeta. La hipótesis de Riemann se ha confirmado en muchos casos, pero todavía no existe una demostración general.
Éste es el único de los siete problemas que estaba en la lista de 1900 de Hilbert.
http://www.claymath.org/prizeproblems/riemann.htm
Hace casi una centuria, los físicos Yang y Mills descubrieron ciertas relaciones entre la geometría y las ecuaciones de la física de partículas que, más tarde, resultaron de gran utilidad para unificar tres interacciones fundamentales de la materia en una sola teoría. A pesar de ello, no se conocen soluciones compatibles con la mecánica cuántica de las soluciones de Yang y Mills. El progreso de este problema requerirá la introducción de nuevas ideas fundamentales en la física y en matemáticas.
http://www.claymath.org/prizeproblems/yangmills.htm
Las ecuaciones de Navier-Stokes describen el comportamiento de los fluidos, cuando se mueven en movimiento turbulento.
A pesar que las ecuaciones se escribieron en el siglo XIX nadie ha sabido resolverlas hasta el momento.
http://www.claymath.org/prizeproblems/navierstokes.htm
El décimo problema planteado por Hilbert en 1900 en París, planteaba si existía algún método para saber si las ecuaciones xn + yn = zn tienen soluciones que sean números enteros. El matemático Yu Matiyasevich demostró, en 1970, que no había ningún método general, pero Birch y Swinnerton-Dyer propusieron algunos métodos parciales que, todavía hoy, no se han demostrado.