Sucesiones
Fecha de primera versión: 21-09-97
Fecha de última actualización: 19/04/2010
Una sucesión es una lista de números que siguen una regla.
a1, a2, a3,... ai,... an,...
Por ejemplo 1, 3, 5, 7, 9, ...
Frecuentemente se define una sucesión dándonos unos pocos términos consecutivos de la sucesión, como en el ejemplo anterior. Otras veces se define la sucesión mediante una función que define el término general.
Por ejemplo, 2n - 1, define la sucesión 1, 3, 5, 7, 9,...
Cuando nos dan el término general es muy sencillo obtener un término determinado, pero lo contrario, dados unos pocos términos, obtener el término general, puede ser bastante difícil.
También se puede definir una sucesión mediante una ley de recurrencia, en la que, para definir un término, se utilizan los anteriores.
Por ejemplo, a1 = 1, an= an-1 + 2.
Las sucesiones más famosas son las progresiones aritméticas, las progresiones geométricas y la sucesión de Fibonacci.
Las sucesiones pueden ser infinitas (cuando tienen un número infinito de términos) o finitas.
Algunas sucesiones se aproximan cada vez más a un cierto número, estas sucesiones se llaman convergentes.
Se dice que un número L es el límite de una sucesión, de término general an, si la diferencia en valor absoluto entre an y L es menor que un número cualquiera, e , previamente elegido. Expresado matemáticamente ½ an - L½ < e .
Por ejemplo, la sucesión (1 + 1/n)n cuando n tiende a infinito es el número e.
Las sucesiones cuyo límite es más infinito o menos infinito se llaman divergentes.
Las sucesiones cuyo límite es cero se llaman infinitésimos.
Una sucesión es estrictamente creciente si cada término de la sucesión es mayor que el anterior
Una sucesión es creciente si cada término es igual o mayor al anterior
Similares definiciones se utilizan para sucesiones estrictamente decrecientes y decrecientes.
Una sucesión es monótona si es creciente o decreciente.
Una sucesión es estrictamente monótona si es estrictamente creciente o estrictamente decreciente.
Una sucesión se dice acotada superiormente por un número A, si A >= an.
Una sucesión se dice acotada inferiormente A, si A <= an.
Una sucesión se dice acotada si está acotada superior e inferiormente.
Una sucesión se dice oscilante o indeterminada cuando no tiene un límite definido.
Por ejemplo, la sucesión de término general an = (-1)n está acotada superiormente, 1, e inferiormente, -1, pero no tiende a ninguno de los dos valores.
Resumiendo, las sucesiones pueden estar acotadas o no. Las sucesiones acotadas, pueden converger (convergentes) o no (oscilantes). Las sucesiones no acotadas pueden ser divergentes (limite infinito o -infinito) o no (oscilantes).
Las sucesiones convergentes pueden tener límite conocido o no. Las que tienen límite conocido, pueden ser estrictamente crecientes o estrictamente decrecientes. En las estrictamente crecientes, la cota superior es el límite y la cota inferior el primer término. En las estrictamente decrecientes, la cota inferior es el límite y al cota superior es el primer término.
Dos sucesiones an y bn (an < > bn) son asintóticamente equivalentes, cuando el límite de su cociente es uno.
Esta dirección es muy interesante: http://www.research.att.com/~njas/sequences/index.html