Límites de sucesiones

Fecha de primera versión: 21-09-97
Fecha de última actualización: 19/04/2010

Las sucesiones matemáticas, pueden ser convergentes (tienden a un número, pero nunca lo alcanzan) o divergentes (tienden a ¥ o a -¥ ).

Se dice que un número L es el límite de una sucesión, de término general a_n, si la diferencia en valor absoluto entre a_n y L es menor que un número cualquiera, e , previamente elegido. Expresado matemáticamente ½ a_n - L½ < e. Esta definición es de Cauchy.

El límite de una sucesión cuyo término general es n^k es ¥ .

El límite de una sucesión cuyo término general es 1/n^k es 0

El límite de una sucesión cuyo término general es kⁿ es 0, donde 0 < k <1

El límite de una sucesión cuyo término general es kⁿ es ¥ , donde k > 1

El límite de una sucesión cuyo término general es un polinomio es divergente. Su limite es + ¥ , cuando el coeficiente del termino de mayor grado es positivo, y -¥ , cuando es negativo.

El límite de una suma o diferencia de sucesiones es la suma o diferencia da cada una de ellas

El límite de un producto o cociente de sucesiones es el producto o cociente de los límites de cada una de ellas.

El límite de la sucesión potencia de dos sucesiones es igual al límite de la sucesión base, elevado al límite de la sucesión exponente.

El límite de la sucesión potencia de una sucesión es igual al límite de la sucesión elevado al exponente de la potencia.

A veces, al calcular el límite de una sucesión nos sale una indeterminación.

Las indeterminaciones son:

¥ - ¥

¥ / ¥

0 / 0

0 * ¥  

0⁰

¥ ⁰

1^¥

Es evidente que el símbolo ¥ representa un 'número' muy grande pero ya no es tan evidente que los números cero y uno que aparecen en estas expresiones no son exactamente estos números si no números infinitamente próximos a ellos. Por eso, un número infinitamente próximo a 1 elevado a un número infinitamente grande es una indeterminación.

Cuando el resultado de una expresión es una indeterminación tenemos que ingeniárnoslas (haciendo operaciones que no alteren la expresión) para deshacer la indeterminación.

Si la indeterminación es del tipo ¥ /¥ se resuelve dividiendo numerador y denominador por la incógnita elevada a mayor grado.

Ejemplo: lim (4n² + 5) / (5n³-3) = 0

Si es del tipo ¥ - ¥ se resuelve con (a+b)(a-b).

Ejemplo: lim Ö (n² + 5) - Ö (n² - 8) = lim (n² + 5 - n² - 8)/ Ö (n² + 5) + Ö (n² - 8) = 0 / 1 = 0

Si es 1¥ se resuelve con el numero e = (1+1/a)^a.

Ejemplo: lim (1 + 1 / n²)ⁿ = lim [(1 + 1/n²)^{n^2}]^1/n =e⁰ = 1  

Trucos para resolver límites

lim (n tiende a infinito) (a₁ + a₂ + ...+ a_n)/n = lim a_n

lim (n tiende a infinito) (a₁ + a₂ + ...+ a_n)^1/n = lim a_n

lim (n tiende a infinito) (a_n)^1/n = lim a_n / a_n-1  

lim (n tiende a infinito) a_n / b_n= lim (a_n  - a_n-1)/ (b_n - b_n-1)