Series
Fecha de primera versión: 20-05-00
Fecha de última actualización:19/04/2010
Una serie es la suma de los términos de una sucesión:
a1 + a2 + a3 + ... + ai + ... + an + ...
Podría parecer que tratándose de una suma de infinitos términos la suma siempre irá aumentando, sin límite, a medida que sumamos más y más términos, pero esto no es así. Algunas series tienen un límite que no superan por más y más términos que sumemos. Se dice que la serie converge a ese número y entonces la serie es convergente.
Una serie puede tener términos positivos y negativos. En ese caso se dice que la serie es absolutamente convergente si la serie formada por los valores absolutos de sus términos es convergente.
Cuando la suma de los términos tiende a infinito, la serie es divergente.
Series aritméticas
La forma general de estas series es: a + (a + d) + (a + 2d) + ... + (a + (n - 1)d)
El término d se llama diferencia.
La suma de estas series se pueden calcular sumando el primer término y el último y multiplicando el resultado por la mitad del número de términos de la serie.
1 + 2 + 3 + ... + n = (1 + n)·n / 2
1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = (1 + (2n - 1))·n / 2 = n2
Series geométricas
La forma general de estas series es: a + ar + ar2 + ... + arn - 1
El término r se llama razón.
La suma de estas series se puede calcular multiplicando el último término por la razón, restándole el primero y dividiendo el resultado por la razón menos uno. S = a(1 - rn) / (1 - r)
Si la razón es un numero comprendido entre -1 y 1, y el número de términos es muy grande, como en la fórmula de la suma, la razón está elevado a n, el resultado de la operación rn es un número que tiende a cero y la fórmula de la suma quedaría S = a / (1- r).
Series aritmético-geométricas
La forma general de estas series es: a + (a + d)r + (a + 2d)r2 + ... + (a + (n - 1)d)rn - 1
Series-p
La forma general de estas series es 1 + 1/2p + 1/3p + ... + 1/kp + ...
Estas series fueron estudiadas por Jakob Bernoulli. Para p = 2 el problema se le resistió y también a Leibniz, hasta que Euler lo resolvió. El valor de esta serie para p = 2 es p2/6.
Serie armónica
Es un caso particular de las series-p. Cuando p = 1 la serie se llama armónica.
Esta serie es muy curiosa. Aunque su término general tiende a cero, la serie diverge (no tiene un límite fijo).
Series telescópicas
La forma general de estas series es (a1 - a2) + (a2 - a3) + (a3 -a4) + ...
La suma de esta serie es S = a1 - an+1
Desarrollo en series de funciones
Todos nos hemos preguntado cómo 'saben' las calculadoras el seno de un número. En general, cómo hacen el cálculo de las funciones. Aquí está la respuesta: Las funciones se pueden aproximar mediante series.
Suma de series
Dadas dos series a y b la serie suma de las dos se obtiene sumando los términos correspondientes.
Sea s la serie suma de las series a y b, sus términos serían: a1 + b1, a2 + b2, ...
Si la serie a converge al número A y la serie b, converge al número B, la serie suma s, converge al número A + B.
Sustracción de series
Dadas dos series a y b la serie diferencia de las dos se obtiene restando los términos correspondientes.
Sea d la serie substracción de las series a y b, sus términos serían: a1 - b1, a2 - b2, ...
Si la serie a converge al número A y la serie b, converge al número B, la serie diferencia d, converge al número A - B.