La radicación es la operación inversa de la potenciación. Supongamos que nos dan un número a y nos piden calcular otro, tal que, multiplicado por si mismo un número b de veces nos da el numero a.
Por ejemplo: calcular qué número multiplicado por si mismo 2 veces da 196. Ese número es 14.El número que esta dentro de la raíz se llama radicando, el grado de la raíz se llama índice del radical, el resultado se llama raíz.
Podemos considerar la radicación como un caso particular de la potenciación. En efecto, la raíz cuadrada de un numero (por ejemplo a) es igual que a1/2, del mismo modo la raíz cúbica de a es a1/3 y en general, la raíz enésima de un numero a es a1/n.
La mejor forma de resolver los ejercicios de operaciones con raíces es convertir las raíces a potencias y operar teniendo en cuenta las propiedades dadas para la operación de potenciación.
1- Para calcular la raíz cuadrada de un número se comienza separando el numero en grupos de dos cifras, empezando por la derecha
Por ejemplo: 5560164 lo separaríamos 5'56'01'64
2- A continuación se calcula un numero entero que elevado al cuadrado sea igual (o lo mas próximo al numero del primer grupo, empezando por la izquierda).
En nuestro ejemplo el primer numero es 5 y el numero entero que elevado al cuadrado se acerca mas a 5 es 2. 2 es la primera cifra de la raíz.
3- después se eleva al cuadrado esta cifra y se resta del numero del primer grupo
En nuestro ejemplo 22 = 4 y restándolo del numero del primer grupo que es 5, sale 5 -4 = 1
4- A continuación ponemos al lado del resto anterior el numero del siguiente grupo
En nuestro ejemplo nos quedaría 156
5- después multiplicamos por 2 el numero que hemos calculado hasta el momento de la raíz.
En nuestro ejemplo seria 2 * 2 = 4
6- A continuación tenemos que buscar un numero que multiplicado por el numero que resulta de multiplicar por 10 el numero anterior y sumarle el numero que estamos buscando se acerque lo mas posible al numero que tenemos como resto. Ese numero será el siguiente numero de la raíz.
En nuestro ejemplo el numero seria 3 porque 43 * 3 = 129 que es el numero que se aproxima mas a 156 y la raíz seria 23...
7- Ahora tenemos que volver a calcular el resto restando el numero obtenido del que queríamos obtener realmente.
En nuestro ejemplo: 156 - 129 = 27
8- A continuación repetimos el paso 4, esto es, ponemos al lado del resto anterior el numero del siguiente grupo
En nuestro ejemplo: 2701
9- A continuación repetimos el paso 5
En nuestro ejemplo: 23 * 2 = 46
10- después repetimos el paso 6
En nuestro ejemplo el numero seria 5 porque 465 *5 = 2325 que es el numero que se aproxima mas a 2701 y la raíz seria 235...
11- después repetimos el paso 7
En nuestro ejemplo: 2701 - 2325 = 376
12- A continuación repetimos el paso 8
En nuestro ejemplo: 37664
13 A continuación repetimos el paso 5
En nuestro ejemplo seria 235 * 2 = 470
14- A continuación repetimos el paso 6
En nuestro ejemplo el numero seria 8 porque 4708 * 8 = 37664 que es el numero que se aproxima mas a 37664 y la raíz seria 2358
15- A continuación repetimos el paso 7
En nuestro ejemplo: 37664 - 37664 = 0 En este caso la raíz es exacta pues el resto es cero.
Este método se debe a Newton
Si conocemos una aproximación de la raíz, podemos calcular una aproximación mejor utilizando la siguiente fórmula:
ai = 1/2(ai-1 + A/ai-1)
Por ejemplo, para calcular la raíz cuadrada de 5, podemos partir de la
aproximación 2, entonces:
a1 = 2
a2 = 1/2(2 + 5/2) = 2,250
a3 = 1/2(2,250 + 5/2,250) = 2,236
1- Para calcular la raíz cúbica de un número se comienza separando el numero en grupos de tres cifras, empezando por la derecha
Por ejemplo: 16387064 lo separaríamos 16'387'064
2- A continuación se calcula un numero entero que elevado al cubo se aproxime lo mas posible al numero del primer grupo (empezando por la izquierda).
En nuestro ejemplo el primer numero es 16 y el numero entero que elevado al cubo se acerca mas a 16 es 2. 2 es la primera cifra de la raíz.
3- después se eleva al cubo esta cifra y se resta del numero del primer grupo
En nuestro ejemplo 23 = 8 y restándolo del numero del primer grupo que es 16, sale 16 - 8 = 8
4- A continuación ponemos al lado del resto anterior el numero del siguiente grupo.
En nuestro ejemplo nos quedaría 8387
5- después tenemos que calcular un numero a que haciendo las operaciones siguientes:
3 * (raíz obtenida hasta el momento)2 * a * 100 + 3 * (raíz obtenida hasta el momento) * a2 * 10 + a3
se aproxime lo mas posible al numero obtenido en el punto 4.
El número a, es el siguiente dígito de la raíz.
En nuestro ejemplo seria ese número sería 5, porque 3 * 22 * 5 * 100 + 3 * 2 * 52 *10 + 53 = 7625
6- A continuación restamos este numero al numero obtenido en el paso 4.
En nuestro ejemplo: 8387 - 7625 = 762.
7- Repetimos el paso 4
En nuestro ejemplo: 762064
8- Repetimos el paso 5 y el numero obtenido seria el siguiente numero de la raíz.
En el ejemplo sería el 4 porque 3 * 252 * 4 * 100 + 3 * 25 * 42 * 10 + 43 = 762064
9 Repetimos el paso 6
En nuestro ejemplo 762064 - 762064 = 0
La forma más fácil es la polar, y es la que se utiliza habitualmente.
La fórmula es la misma que para la potencia sustituyendo n por 1/n.