Número p
Fecha de primera versión: Marzo 1997
Fecha de última actualización: 19/04/2010
Introducción
Si dividimos la longitud de cualquier circunferencia entre su diámetro siempre obtenemos como resultado el mismo número. Este número lo conocemos ahora por el símbolo p. La utilización del símbolo p para representar este número se debe a Wiliam Jones (1706) y a Euler. Parece ser que se eligió la letra griega pi para representar este número porque es la inicial de periferia (periferia de un circulo).
Pero mucho antes de que se popularizase con el nombre de número pí ya
era conocido: En el papiro Rhind se dan instrucciones para calcular el área
de un círculo. En la Biblia (libro primero de los Reyes, capítulo 7, versículo
23 y en el libro segundo de las Crónicas, capítulo 4, versículo 2) puede
leerse la descripción de un depósito de agua para el palacio del Rey
Salomón, que da un valor para pi = 3:
Hizo el Mar de metal fundido que tenía diez codos de borde a borde. Era
enteramente redondo y de cinco codos de altura; un cordón de 30 codos
medía su contorno.
Ludolf von Ceulen (Colonia, 1539-1610) calculó 34 cifras, que ordenó grabar en su tumba. En Alemania se conoce aún hoy a PI como número de
Ludolph.
Este número aparece en todas las fórmulas de líneas o cuerpos curvos y en los sitios mas inesperados, por ejemplo en estadística (¿sabías que la probabilidad de que una barra de longitud k < 1, que cae sobre una superficie en la que hemos dibujado rectas paralelas separadas una distancia de 1, caiga atravesando una de esas rectas es 2k/p ? ¿Sabías que la probabilidad de que dos números naturales (escogidos al azar) no tengan divisores comunes es 6/p2 ?)
Métodos para calcular p
El primer cálculo teórico del número p lo hizo Arquímedes de Siracusa (dedujo que 223/71 < p < 22/7 basándose en que la longitud de la circunferencia tenia que estar comprendía entre el perímetro de un polígono regular que circunscribiese a la circunferencia y otro que la inscribiese) . El problema de este método es que converge muy lentamente a p.
Circunscribamos e inscribamos polígonos de n lados (siendo n = 6.2k) a la circunferencia.
El perímetro del polígono circunscrito será an = 2n tan(pi/n).
El perímetro del polígono inscrito será bn = 2n sen(pi/n).
La longitud de la circunferencia de radio 1 estará comprendido entre esos dos valores y de aquí podemos calcular el valor de pi.
Se puede demostrar que el perímetro del polígono circunscrito del doble de lados a2n = 2an.bn/(an + bn) y que el perímetro del polígono inscrito del doble de lados b2n = sqr(a2n.bn). Con estas fórmulas se puede iterar el cálculo.
El siguiente cálculo se debe a Wallis (1665) que estableció la siguiente fórmula:
En 1671 Gregory dedujo la siguiente fórmula:
En 1706 John Machin obtuvo esta fórmula:
Con esta fórmula se calcularon las primeras 100 cifras del número p. Esta fórmula y alguna variante se utilizó hasta tiempos recientes para dicho cálculo.
En 1914 Ramanujan dedujo esta fórmula:
Sin embargo, para el cálculo real de centenares de millones de dígitos de p fue preciso redescubrir una fórmula de Gauss que permite duplicar el número de dígitos en cada iteración.
Este método es el siguiente:
Valores iniciales:
a = x = 1
Fórmula:
y = a
c = c - x (a - y)2
x = 2 x