Funciones

Fecha de primera versión: 08-02-98
Fecha de última actualización: 19-10-00

Definición

Una función es una serie de operaciones que se hacen a una variable y de las que se obtiene un valor.

Podemos imaginarnos la función como una máquina a la que se le suministra unos datos y que obtiene un valor.

A veces esta 'máquina' no funciona con determinados valores. Al conjunto de valores de la variable para los que la función existe (para los que la 'máquina' funciona) se llama dominio de definición de la función.

Ejemplo: la función raíz cuadrada de un número no está definida para números negativos.

Una función obtiene un valor, pero esto no quiere decir que se obtengan todos los valores que se nos antojen. El conjunto de valores que se obtienen a partir del conjunto de valores del dominio de definición se llama recorrido de la función.

Ejemplo: la función y = x² nunca obtiene valores negativos.

Clasificación

De la definición de función se intuye que hay muchísimas funciones. Para estudiarlas conviene comenzar por las mas sencillas y clasificarlas en diferentes tipos.

Las funciones elementales son las siguientes:

Función potencial: y = x^a

Función exponencial: y = a^x

Función logarítmica: y = log_ax

Funciones circulares: y = sin x, y = cos x, y = tan x, y = cosec x, y = sec x, y = cot x.

A partir de las funciones potenciales, mediante sumas y diferencias se obtienen las funciones polinómicas (y = a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + ... + a₀)

Las funciones racionales se obtienen con el cociente de dos funciones polinómicas.

La función es irracional cuando algún exponente del polinomio no es entero.

Las funciones polinómicas, racionales e irracionales se llaman funciones algebraicas.

Las funciones que no son algebraicas, como las exponenciales, logarítmicas y circulares se llaman funciones trascendentes.

Otras funciones no incluidas en las anteriores (p.e. esas que tanto les gustan a nuestros profesores, y tan poco a nosotros: la parte entera, valor absoluto) se llaman funciones no elementales.

También se suele clasificar las funciones en explícitas (cuando la variable dependiente está despejada y = 5x) e implícitas (cuando la variable dependiente no está despejada. 3x-y = 5).

Por último, las funciones que se definen por tramos de la recta de los números reales, se llaman función por intervalos.

Continuidad de una función.

Una aproximación al concepto de continuidad de una función, se puede visualizar intentando dibujar la función sin levantar el lápiz del papel.

Expresado matemáticamente, se dice que la función y = f(x) es continua en el punto x = x₀ , donde la función tiene el valor f(x₀), si verifica que en todo punto próximo a x₀, el valor de la función también es próximo a f(x₀).

Una función, por lo tanto, puede no ser continua:

a) No existe f(x₀)

b) No existe el límite en ese punto

c) f(x₀) no es igual al límite en ese punto.

Cuando una función no es continua en un punto se dice que es discontinua en ese punto.

Las discontinuidades pueden ser de dos tipos:

a) Discontinuidades de primera especie (cuando la función no existe en ese punto, o bien, cuando los límites laterales existen y son finitos, pero no son iguales

b) Discontinuidades de segunda especie (cuando los límites laterales tienden a infinito en ese punto).

Una función es continua en un intervalo cuando lo es en todos los puntos de ese intervalo.

¿Qué diferencia existe entre una función continua y otra uniformemente continua?

La continuidad es una propiedad local. Una función es continua si lo es todos sus puntos, es decir, la continuidad se define según lo que ocurre en el entorno de un punto.

Sin embargo, ser uniformemente continua es una propiedad global de la función.

Un ejemplo: La propiedad "ser rubio" es una propiedad individual (local). Decir, "los alemanes son rubios" no es correcto porque "ser rubio" es una propiedad individual y no todos los alemanes son rubios. Sin embargo, una propiedad como "la densidad de población" de un país es una propiedad global de un país, no es una propiedad local. Supongamos que la densidad de población de un país sea 5 hab/Km2, el hecho de analizar 1 Km2 no nos define si es cierta la propiedad o no, hemos de fijarnos en el país en su conjunto.

Propiedades de las funciones continuas

Los polinomios son funciones continuas.

Las funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas son continuas en sus dominios.

La suma, diferencia y producto de funciones continuas es continua.

Teorema de Weiertrass

Toda función f continua en un intervalo cerrado [a,b] admite un máximo y un mínimo absoluto.

Teorema de Bolzano

Si la función f es continua en el intervalo cerrado [a,b] y en los extremos la función toma valores de signo contrario, dicha función se anula en un punto del interior del intervalo.

Composición de funciones:

Supongamos que el resultado de una función f se utiliza como entrada para otra función g. A esto se le llama composición de funciones y se representa así:

(g o f)(x).

Función inversa:

Una función es inversa de otra si una deshace la operación que hizo la otra.

Dicho en términos matemáticos: f(x) y g(x) son inversas si cuando b = f(a), a = g(b)

La división es la operación inversa de la multiplicación. La suma es la operación inversa de la resta.

Si la función f es continua y estrictamente creciente (o decreciente) en el intervalo cerrado [a,b], existe función inversa y es continua y estrictamente creciente (o decreciente).

Función par

Cuando f(x) = f(-x).

La función y = x2 es par pues se obtienen los mismos valores de y independientemente del signo de x.

Función impar

Cuando f(x) = -f(-x)

La función y = x³ es impar.

Función periódica:

Una función es periódica cuando la función 'repite' los mismos valores. Dicho matemáticamente: f(x+T) = f(x)

La función sen(x) es periódica (periodo 360º) pues sen(x) = sen (x + 360)