Determinantes

Fecha de primera versión: 22-09-01
Fecha de última actualización: 19/04/2010

El determinante de la matriz A se designa por |A|

El determinante de esta matriz es a₁₁× a₂₂ - a₁₂× a₂₁

El determinante de esta matriz es a₁₁× a₂₂× a₃₃ + a₂₁× a₃₂× a₁₃ + a₃₁× a₁₂× a₂₃ - a₁₃× a₂₂× a₃₁ - a₂₃× a₃₂× a₁₁ - a₃₃× a₂₁× a₁₂

El método anterior se llama regla de Sarrus.

Para calcular determinantes de matrices de orden superior a tres tenemos que emplear otros métodos. Para ello necesitamos saber qué es adjunto de un elemento.

Adjunto de un elemento es el determinante de la matriz obtenida al suprimir la fila y la columna del elemento y si la suma de los índices del elemento es impar se le cambia el signo.

Ejemplo:

 1    2    3
 0    4    5
-1   -4   -2

El adjunto del elemento 1 es el determinante de la matriz

 4    5
-4   -2

sin cambiar el signo pues la suma de los índices del elemento 1 (fila 1, columna 1) es par.

El adjunto del elemento 0 es el determinante de la matriz

 2    3
-4   -2

cambiándole el signo pues la suma de los índices del elemento 0 (fila 2, columna 1) es impar.      

El determinante de una matriz de cualquier orden es la suma de los productos de los adjuntos de cualquier fila o columna.

Ejemplo:

 1    2    3
 0    4    5
-1   -4   -2

Vamos a desarrollar el determinante por la primera fila (aunque ya veremos que sería mejor hacerlo por la primera columna). El adjunto del elemento 1 es el determinante de la matriz

 4    5
-4   -2

este determinante vale 12, (-8 + 20). No tenemos que cambiarle el signo. Ahora tenemos que multiplicarlo por 1 y el resultado es 12.

El adjunto del elemento 2 es el determinante de la matriz

 0    5
-1   -2

este determinante vale 5, (0 + 5) . Tenemos que cambiarle el signo. Ahora tenemos que multiplicarlo por 2 y el resultado es -10.

El adjunto del elemento 3 es el determinante de la matriz

 0    4
-1   -4

este determinante vale 4, (0 + 4) . No tenemos que cambiarle el signo. Ahora tenemos que multiplicarlo por 3 y el resultado es 12.

Ahora sumamos 12  - 10 + 12 = 14

El método anterior se llama método de Kronecker.

Tendríamos suerte si la matriz tuviese una fila o una columna en la que abundasen los ceros pues solo tendríamos que calcular los adjuntos de los elementos que no fuesen cero (pues como tenemos que multiplicar por el elemento y es cero, el resultado sería cero, independientemente del valor del adjunto).

Buenas noticias. Aunque la matriz original no tenga ceros podemos hacerlos (mediante combinaciones lineales de las otras filas o columnas).

Ejemplo:

 1    2    3
 0    4    5
-1   -4   -2

Vemos que la primera columna ya tiene un cero. Podemos convertir el -1 en cero sumando la primera fila a la tercera y nos quedaría:

 1    2    3
 0    4    5
 0   -2    1

Ahora desarrollamos el determinante por la primera columna. El adjunto del elemento 1 es el determinante de la matriz

 4    5
-2    1

este determinante vale 14, (4 + 10) . No tenemos que cambiarle el signo. Ahora tenemos que multiplicarlo por 1 y el resultado es 14.

El método anterior se llama Regla de Chio

Si la matriz es triangular el determinante es el producto de los elementos de la diagonal.

Ejemplo:

 1    2    3
 0    4    5
-1   -4   -2

Vamos a convertir la matriz en una matriz triangular. Podemos convertir el -1 en cero sumando la primera fila a la tercera y nos quedaría:

 1    2    3
 0    4    5
 0   -2    1

Sumando la tercera columna a la segunda nos queda: 

 1    8    3
 0   14    5
 0    0    1

Ahora multiplicamos los elementos de la diagonal y el resultado es 14.

Este método se llama triangulación.

Si la matriz tiene unos en la primera fila, números cualesquiera en la segunda fila, el cuadrado de esos números en la tercera fila, el cubo de esos números en la cuarta fila, etc. entonces el determinante es:

(a₂ - a₁)(a₃ - a₁) ... (a_n - a₁)(a₃ - a₂) ... (a_n - a₂) ... (a_n - a_n-1)

Ejemplo:

 1    1    1    1
 2   -2    3   -1
 4    4    9    1
 8   -8   27   -1

El determinante es (-2 - 2)(3 - 2)(-1 - 2)(3 + 2)(-1 + 2)(-1 - 3) = -240

Este determinante se llama determinante de Vandermonde.

Propiedades de los determinantes

Los determinantes de una matriz y de su traspuesta son iguales. |A| = |^tA|.

Si en una matriz se intercambian de posición dos filas o dos columnas, el determinante cambia de signo.

Si se multiplican todos los elementos de una fila (o de una columna) por un número, el determinante queda multiplicado por ese número.

Si dos filas (o dos columnas) de una matriz son iguales, el determinante es cero.

Si dos filas (o dos columnas) de una matriz son proporcionales, el determinante es cero.

Si descomponemos en dos sumandos cada numero de una fila (o de una columna) de una matriz, la suma de los determinantes de las dos matrices obtenidas con la descomposición en sumandos, es igual al determinante de la matriz original.

Si una fila (o columna) es combinación lineal de las otras filas (o columnas) de una matriz, el determinante es cero.

Si cambiamos una fila (o una columna) por la obtenida por la suma de esa fila más el producto de otra fila (o columna) por una constante, el determinante no varía.

Se pueden hacer transformaciones, siguiendo las reglas anteriores, en una matriz, de tal forma que, todos los elementos de una fila (o columna) sean ceros y el determinante no varíe.

El determinante de una matriz triangular es igual al producto de los números de la diagonal.

El determinante de un producto de matrices es igual al producto de sus determinantes |A.B| = |A|.|B|

El determinante de la inversa de una matriz es igual al inverso del determinante. |A^-1| = 1 / |A|