Fue Descartes el primero que utilizó el método de las coordenadas para indicar la posición de un punto (en el plano o en el espacio), por eso se suele decir coordenadas cartesianas. Descartes utilizó, para representar un punto en el plano, dos rectas perpendiculares entre sí. La posición del punto se lograba midiendo sobre los ejes las distancias al punto, de la manera que se puede ver en el dibujo.
Esta idea, la de representar la posición de un punto mediante coordenadas, es tan simple que no te explicas cómo no se descubrió antes.
Supongamos que conocemos las coordenadas cartesianas de un punto, respecto a unos ejes determinados y queremos saber las coordenadas de ese punto respecto a otro sistema de coordenadas. Se pueden presentar tres casos:
1 que los nuevos ejes estén desplazados respecto al antiguo.
Sean (x,y) las coordenadas del punto respecto a los ejes de coordenadas X-Y.
Sean (x0,y0) las coordenadas del origen de coordenadas de los ejes X-Y respecto al nuevo sistema de coordenadas X'-Y'.
Puede verse fácilmente en el dibujo que las nuevas coordenadas (x',y') son:
x' = x0 + x
y' = y0 + y
2 que los nuevos ejes estén girados respecto al antiguo.
Sean (x,y) las coordenadas del punto respecto a los ejes de coordenadas X-Y. Sea a el ángulo que se giran los ejes.
x' = xcosa - ysena
y' = xsena + ycosa
3 que los nuevos ejes estén girados y desplazados respecto al antiguo.
Sean (x,y) las coordenadas del punto respecto a los ejes de coordenadas X-Y.
Sean (x0,y0) las coordenadas del origen de coordenadas de los ejes X-Y respecto al nuevo sistema de coordenadas X'-Y'.
Sea a el ángulo que se giran los ejes.
x' = x0 + xcosa - ysena
y' = y0 + xsena + ycosa
Nota de mi padre: No os aprendáis las fórmulas. Tenéis que comprenderlas. Si las sabéis de memoria y no las comprendéis no sirve de casi nada. Si os es más fácil aprender las fórmulas que comprenderlas, es mejor que elijáis la opción de letras.
Calcular la distancia entre dos puntos en el plano es muy sencillo. Si haces un
dibujo como el de la figura en seguida te das cuenta que la distancia horizontal entre los dos puntos es c - a y la distancia vertical es d - b, por lo tanto, como la distancia entre los puntos es la hipotenusa, la distancia será
El sistema mas utilizado para localizar un punto suele ser el de las coordenadas cartesianas, pero hay otro muy utilizado también: el de coordenadas polares. En este método se utiliza la distancia del punto al origen, medido sobre el segmento que los une, y el ángulo que forma dicho segmento con uno de los ejes. Véase el dibujo.
Si (x,y) son las coordenadas cartesianas de un punto, las coordenadas polares de ese punto seran 
y a = arctg y/x
Si (r, a) son las coordenadas polares de un punto, las coordenadas cartesianas serán: x = r cos a , y = r sen a .