TEORIA DE GRUPO

Aunque no es fácil desligar en absluto la creación intelectual de un hombre de ciencia de su vida pública o privada, es posible que por su propia índole, tal desvinculación sea más frecuente en la matemática que en las demás ciencias. Sin embargo, quizás no haya otro ejemplo de influencia, a la vez decisiva y desdichada, de los acontecimientos públicos y privados de una vida sobre la propia actividad creadora, que en el caso de Evariste Galois.

En 1829 y 1830 hace conocer sus primeros trabajos sobre fracciones continuas, cuestiones de análisis y teoría de las ecuaciones, y teoría de números. En 1831, con el propósito de dedicarse a la enseñanza privada, anuncia un curso de álgebra superior que abarcaría “una nueva teoría de los números imaginarios, la teoría de las ecuaciones resolubles por radicales, la teoría de números y la teoría de las funciones elípticas tratadas por álgebra pura ”. Luego de esto Galois redacta una memoria, hoy llamada “Teoría de Galois”, que remite a la Academia y que Poisson la califica de “incomprensible”.

Sólo en 1846 se conoció gran parte de los escritos de Galois por obra de Joseph Liouville, y completó la publicación de sus escritos Jules Tannery a comienzos de este siglo. en ellos asoma ya la idea de “cuerpo”, que luego desarrollaron Riemann y Richard Dedekind, y que Galois introduce con motivo de los hoy llamados “imaginarios de Galois”, concebidos con el objeto de otorgar carácter general al teorema del número de raíces de las congruencias de grado n de módulo primo. Es en estos escritos donde aparecen por primera vez las propiedades más importantes de la teoría de grupos (nombre dado por Galois) que lo convierten en su cabal fundador.

Sin duda que la noción de grupo, en especial de grupo de substituciones que constituye el tema central de Galois, estaba ya esbozada en los trabajos de Lagrange y de Vandermonde del siglo XVIII, y en los de Gauss, Abel, Ruffini y Cauchy del XIX, implícita en problemas de teoría de las ecuaciones, teoría de números y de transformaciones geométricas, pero es Galois quien muestra una idea clara de la teoría general con las nociones de subgrupo y de isomorfismo.

Aunque la teoría de grupos sigue encontrando aplicaciones Arthur Cayley, la aplica en 1854 a la teoría de los cuaternios, y William Rowan Hamilton, en 1856, a los poliedros regulares. fue en el Tratado de substituciones, de Camille Jordan, publicado en 1870, donde la teoría de Galois pone de relieve su valor como factor unificador de sectores diversos de la matemática, y en la obra de Ernest Steinitz de 1910, donde entra en su faz moderna.

Dos matemáticos que asistieron a las clases de Jordan: Felix Klein y Marius Sophus Lie, pusieron de manifiesto ese poder unificador y sistematizador de la teoría.

Combinando el desarrollo alcanzado por las geometrías no euclideanas y la geometría proyectiva con la teoría de los invariantes y la teoría de grupos, Klein expone en su Programa de Erlangen, en 1872, mediante grupo y subgrupos, una sistematización y jerarquización de todas las geometrías, concibiendo como objeto de cada geometría el descubrimiento de propiedades invariantes respecto de un determinado grupo de transformaciones y considerando cada geometría como subgeometría de otra a la que se adjunta cierta figura básica, que debe quedar invariante. Más tarde, en 1884, ofreció un ejemplo de dos grupos isomorfos: el de las rotaciones del icosaedro regular y el de la ecuación de quinto grado.

Mientras Klein estudia grupos discontinuos, Sophus Lie aborda, a partir de 1872, el estudio de los grupos continuos de transformaciones y su clasificación y aplicación a la integración de las ecuaciones diferenciales con derivadas parciales. Sus trabajos y los de sus discípulos aparecieron hacia fines de siglo.

La teoría de grupos culmina hacia 1880 al aparecer la teoría de los grupos abstractos, que confiere a la teoría iniciada por Galois los caracteres de estructura algebraica. Como tal estructura, y en virtud del isomorfismo, un grupo puede entonces estudiarse ora bajo el aspecto particular de uno de sus modelos o interpretaciones, ora bajo su forma general puramente abstracta como resultado de un proceso de rasgos propios, específicos de la matemática de hoy, que evidencia que la misma abstracción, signo de la matemática de todas las épocas, ha cambiado o evolucionado a través de los tiempos.

Por supuesto que la geometría Griega es una ciencia abstracta por cuanto no se refiere a objetos del mundo sensible, sino del mundo de las formas o ideas en el sentido platónico, y por tanto concebidos mediante un proceso de abstracción que parte de los objetos del mundo exterior y que otorga a esa geometría sus típicos rasgos de ciencia visual y táctil y su alusión a los cuerpos visibles, aunque sólo lo sean, como diría Platón, a los ojos de la inteligencia.

A partir del siglo XVII el algoritmo algebraico introduce en la matemática una abstracción más refinada, diríase de segundo grado: las letras y símbolos que ahora inundan los textos de estas disciplinas son abstracciones de entes y operaciones, a su vez abstractos, pero que, en definitiva, aluden a entes concretos: números, figuras u objetos físicos que se incorporan al proceso de abstracción y lo matizan.

En cambio, la abstracción a que aluden los grupos abstractos es de una índole distinta de las anteriores. Es el resultado de un proceso característico de la matemática de hoy y que se manifestó contemporáneamente en otros sectores, proceso que elimina toda referencia a entes concretos, que presciende por completo de la “naturaleza” de lo que en él interviene, para no dejar sino el esqueleto formal de entes y relaciones abstractos que defienen la estructura. En el caso del grupo de Galois ese proceso descarnó el grupo de sustituciones, punto de partida del proceso, para convertirlo en un grupo abstracto que logra así su máxima generalización, ya que el grupo de sustutuciones o cualquier grupo isomorfo con él, no es sino modelo o interpretación del mismo.