Juegos matemáticos y Recreaciones

La gama de problemas matemáticos fluctúa desde los más simples hasta los más complejos aún sin resolver. Toda la historia de las matemáticas se encuentra entrelazada con juegos matemáticos los cuales han llevado a estudiar diferentes áreas de esta ciencia. Juegos numéricos, problemas geométricos, red de problemas y problemas de combinatoria se encuentran entre los tipos de problemas más conocidos.

El papiro Rhind muestra que las primeras matemáticas egipcias se fundamentaron extensamente en problemas tipo acertijos. Este papiro de alrededor del año 1850 A.C. contiene, por ejemplo, un problema escrito en forma bastante análoga a los acertijos actuales:

Siete gatos habitan siete casas. Cada gato caza siete ratones. Cada ratón se había comido siete mazorcas de maíz. Cada mazorca de maíz habría producido siete hekats de maíz. ¿Cuál es el total de granos de maíz?

Problemas similares aparecen en el libro Liber Abaci de Fibonacci escrito en 1202. El conocido acertijo de St Ives del siglo XVIII está basado en la misma idea (y en el número siete).

Los matemáticos griegos desarrollaron muchos problemas clásicos. Quizás los más famosos son los desarrollados por Arquímedes en su libro The Sandreckoner donde escribió el Acertijo del Ganado

Oh Extraño, si tu arte es diligente y sabio, calcula el número de ganado del sol...

En alguna de las interpretaciones de este problema, el número de ganado ha resultado ser un número de 206545 dígitos!

(Es posible encontrar mayores detalles al respecto)

Otro de los inventos de Arquímedes fue dividir un cuadrado en catorce partes llegando éste más tarde a convertirse en un juego similar a los Tangrams que consiste en hacer figuras a partir de las catorce partes. Los Tangrams son de origen chino y requieren de poca habilidad matemática. Sin embargo, es interesante notar cuántas figuras convexas se pueden hacer con el Tangram de siete partes. Es importante observar la presencia del número siete, el cual parece haber sido asociado con propiedades mágicas. Los Tangrams llegaron a tener un resurgimiento cuando Dodgson bajo el nombre de Lewis Carroll introdujo los caracteres del tipo Alice.

Fibonacci (mencionado previamente) es famoso por su invención de la secuencia 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13... donde cada número es la suma de los dos dígitos anteriores. De hecho las implicancias matemáticas desprendidas de esta secuencia han originado que hoy en día haya un Journal dedicado a tópicos relacionados con esta secuencia. No obstante, la secuencia no aparece en la obra de Fibonacci sino sólo el famoso Problema del Conejo

Un hombre pone un par de conejos en un lugar rodeado por una muralla. ¿Cuántos pares de conejos pueden ser producidos a partir de ese par en un año si todos los meses cada par produce un nuevo par el cual a partir del segundo mes comienza a ser productivo?

Una de las primeras menciones del Ajedrez en problemas matemáticos se debe al matemático árabe Ibn Kallikan quien en 1256 propone el problema de los granos de maíz, 1 en el primer casillero del tablero, 2 en el segundo, 4 en el tercero, 8 en el cuarto, etc. Uno de los primeros problemas que involucran piezas de ajedrez se debe a Guarini di Forli quien en 1512 planteó cómo dos caballos blancos y dos negros podían ser intercambiados si eran colocados en la esquinas de un tablero de 3X3 (usando el movimiento clásico del caballo).

Los Cuadrados Mágicos comprenden el uso de todos los números 1, 2, 3... n2 para llenar los casilleros de un tablero n x n de manera que cada fila, cada columna y ambas diagonales principales sumen el mismo número. Los cuadrados mágicos se remontan al año 2200 A.C. en el que los chinos los llamaban lo-shu A comienzos del siglo XVI Cornelius Agrippa construyó casilleros para n = 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 los cuales asoció con los siete planetas entonces conocidos (incluyendo el Sol y la Luna). Melancholia, el famoso grabado de Dürero hecho en 1514 incluye una imagen de un cuadrado mágico.

El número de cuadrados mágicos, de un orden dado, es todavía un problema sin solución. Incluso el caso n = 5 permanece no resuelto.

El cuadrado mágico de Dürero mencionado previamente es simétrico. Otras de las condiciones que se estudiaron además fue que todas las diagonales (trazadas como si el cuadrado estuviese sobre un bocel (1) ) se añaden al mismo número que la suma de filas y columnas. Euler estudió este tipo de cuadrado conocido como cuadrado pandiagonal. Ningún cuadrado pandiagonal del orden 2 (2n + 1) puede existir pero si de cualquier otro orden. Para n = 4 existen 880 cuadrados mágicos de los que 48 son pandiagonales. Veblen en 1908 utilizó matrices para estudiar los cuadrados mágicos.

Otros de los primeros inventores de juegos fueron Recorde y Cardan. Cardan inventó un juego que consistía en una serie de anillos en una barra.

Este juego que aparece en la edición número 1550 de su libro De Subtililate. Los anillos estaban ordenados de modo que sólo el anillo A en uno de los extremos podía ser puesto y sacado sin problemas. Para sacar cualquiera de los otros, el anillo que se quisiese sacar tenía que estar en la barra próximo a A y todos los otros entre el anillo que se deseaba sacar y A tenían que estar fuera de la barra.

Para sacar todos los anillos se necesita (2n+1 -1)/3 movidas si n es impar y (2 n+1 -2)/3 si n es par. Este problema es parecido a las Torres de Hanoi descritas más abajo. De hecho Lucas (el inventor de las Torres de Hanoi) da una elegante solución al Problema de los Anillos de Cardan usando aritmética binaria.

(1) Bocel: Moldura convexa de sección semicilíndrica

Tartaglia, quién junto con Cardan descubrió la solución algebraica de potencias cúbicas, fue otro famoso inventor de juegos matemáticos. Inventó varios problemas aritméticos; problemas de masas de peso con el mínimo número de pesos y problemas del tipo Ferry Boat los que ahora pueden ser resueltos con la teoría de gráficos.

Bachet fue famoso como poeta, traductor y matemático de la Academia Francesa. Es más conocido por su traducción de la Arithmetica de Diophantus de 1621. Este es el libro que leía Fermat cuando escribió en el margen su famoso Último Teorema. Bachet, sin embargo, también es famoso como coleccionista de problemas matemáticos los cuales publicó en Problèmes plaisans et délectables qui font par les nombres,(2) en 1612. Esta obra contiene muchos de los problemas antes mencionados; problemas del tipo cruce de ríos, problemas de pesos, trucos numéricos, cuadrados mágicos, etc. A continuación, un ejemplo de uno de los problemas de pesos de Bachet:

¿Cuál es el número mínimo de pesos que pueden ser usados en un platillo de una balanza para pesar cualquier número integral de libras de 1 a 40 inclusive, si los pesos pueden ser ubicados en ambos platillos de la balanza?

(La solución a ese problema está disponible)

Los problemas matemáticos de Euler son quizás los que poseen la más profunda naturaleza matemática. Además de los problemas de los cuadrados mágicos y los problemas numéricos, él estudió el

Movimiento del Caballo

en el tablero de ajedrez, el problema de Los Treinta y Seis Oficiales y Los Siete Puentes de Königsberg.

Euler no fue el primero en analizar el problema del Movimiento del Caballo. De Moivre y Montmort ya lo habían estudiado y resuelto a principios del siglo XVIII, después de haber sido propuesto por Taylor. Ozanam y Montucla citan las soluciones de De Moivre y de Montmort. Euler, en 1759 a sugerencia de L.Bertrand de Ginebra, fue el primero en hacer un análisis matemático serio del problema, introduciendo conceptos que serían importantes en la teoría de gráficos. Lagrange y Vandermonde también contribuyeron a la comprensión del problema del Movimiento del Caballo.

Los Siete Puentes de Könisgberg marca el comienzo de la teoría de gráficos y de la topología.

El Problema de Los Treinta y Seis Oficiales, presentado por Euler en 1779, plantea si es posible ordenar 6 regimientos de 6 oficiales de diferente rango cada uno en un cuadrado de 6 x 6 de tal manera que ningún rango ni regimiento se repita en ninguna fila o columna. El problema no tiene solución pero ha dado origen a importantes estudios en combinatoria.

(2) Problemas agradables y deleitosos que se forman por los números

Otro famoso problema que involucra al tablero de ajedrez es el Problema de las Ocho Reinas. La interrogante del problema es determinar de cuántas maneras 8 reinas pueden ser ubicadas en un tablero de ajedrez de tal manera que ningún par se enfrente. La interrogante de cuántas maneras pueden ubicarse n reinas en un tablero de n x n de tal manera que ningún par se enfrente, fue planteado por Franz Nauck, en 1850. En 1874, Günther y Glaisher describieron métodos basados en determinantes para resolver este problema. Existe una singular solución (conforme a la simetría) para el problema de 6 x 6 y para el juego en la forma de un tablero de madera con 36 agujeros en los que se colocan clavijas, el que se vendió en las calles de Londres por un centavo.

En 1857 Hamilton describió su Juego Icosiano en una reunión de la Asociación Británica, en Dublín. Éste fue vendido a J. Jacques and Sons fabricantes de juegos de ajedrez de excelente calidad, por £25 y patentado en Londres en 1859. El juego está relacionado con problema del Movimiento del Caballo de Euler ya que, en la terminología actual, éste requiere de un circuito Hamiltoniano en una gráfica determinada. El juego fue un fracaso y vendió muy pocas copias.

Otro famoso juego fue el Problema de Las Escolares de Kirkman. La interrogante del problema planteado en 1850 es de qué manera 15 escolares pueden caminar en 5 filas de 3 estudiantes cada una por 7 días de tal manera que ninguna niña camine con otra en el mismo trío más de una vez. De hecho, si n es divisible por 3, podemos formular una pregunta más general sobre n estudiantes caminando por (n - 1)/2 días de tal manera que ninguna niña camine con otra en el mismo trío más de una vez. Las soluciones para n=9, 15, 27 fueron provistas en 1850 y de ahí en adelante se trabajó mucho en este problema. Este problema es importante en la teoría moderna de combinatoria..

Por la misma época dos inventores profesionales de problemas matemáticos, Sam Loyd y Henry Ernest Dudeney, entretenían al mundo con un gran número de juegos matemáticos y recreativos. El juego más famoso de Loyd fue el Puzzle 15. Es posible ver el Puzzle 15.

Este problema es ilustrativo de importantes propiedades de las permutaciones.

Loyd también fue famoso por sus problemas de ajedrez. El inventó una serie de problemas, algunos de los cuales son muy difíciles, que publicó en el primer número del American Chess Journal.

Edouard Lucas inventó las Torres de Hanoi en 1883. (Es posible encontrar más información sobre el tema).

El juego de pentóminos es de más reciente data. El problema de insertar un agujero cuadrado en el centro de un cuadrado de 8 x 8 fue resuelto en 1935. En 1958 se demostró computacionalmente que este problema tenía exactamente 65 soluciones. En 1953 se introdujeron polióminos más generales. Todavía permanece sin resolver el problema sobre cuántos polióminos distintos hay. Hay 12 pentóminos, 35 hexóminos y 108 heptóminos (incluyendo uno más bien dudoso con un agujero en la mitad!). Solomon W.Golomb, matemático e ingeniero eléctrico de la Universidad de California del Sur, fue quien inventó los problemas con polinomios.

Existe una versión de pentóminos tridimensional donde los elementos básicos son cubos en vez de cuadrados. Un prisma rectangular de 3 x 4 x 5 puede derivarse de los pentóminos tridimensionales. Muy relacionado a estos, está El Soma Cubes de Piet Hein, el que consiste de 7 piezas. 6 piezas están compuestas de 4 cubos pequeños y una de 3 cubos pequeños. El objetivo de este juego es armar un cubo de 3 x 3 x 3. Esto puede hacerse de 230 maneras diferentes!

Un juego de cubo más antiguo (1921) pertenece a P.A. MacMahon y se llama el Problema de los Cubos de 30 Colores. Hay 30 cubos con todas las permutaciones posibles para sus caras de 6 colores. (Puede Usted probar que hay exactamente 30 cubos de ese tipo?) Elija un cubo al azar y luego elija 8 cubos más para hacer un cubo de 2 x 2 x 2 con el mismo arreglo de colores, del primer cubo elegido, para sus caras. Cada cara del cubo de 2 x 2 x 2 tiene que ser de un solo color y sus caras interiores tienen que corresponder en color.

Raymond Smullyan, lógico matemático, creó una serie de problemas de ajedrez diferentes a los que se crean generalmente. Ellos son conocidos actualmente como problemas de análisis retrógrado y su objetivo es deducir las movidas previas del juego en cuestión más que las jugadas por venir, que es el problema convencional. Los problemas de análisis retrógrado son problemas de lógica matemática. Aquí está el primero que escribió Smullyan en 1925 a los 16 años.

Uno de los más importantes inventores y coleccionistas de problemas profesionales modernos es Martin Gardner quien escribió, hasta hace alrededor de 4 años atrás, una excelente columna en la revista Scientific American por cerca de 30 años. Publicó algunos de los problemas ajedrecísticos de análisis retrógrado de Smullyan, en 1973. También se refirió a un juego computacional en ese mismo año. El advenimiento de las computadoras personales ha marcado un nuevo curso en el diseño y la ejecución de los juegos matemáticos para computadores. El juego al que se refirió Gardner era el “Spirolaterals” inventado por Frank Olds con sólo 3 o 4 líneas de código. Es posible ver algunos ejemplos de spirolaterals.

El más famoso de los problemas recientes es el Cubo Rubik, inventado por el húngaro Ernö Rubik. La fama de este cubo es enorme. Fue inventado en 1974, patentado en 1975 y llevado al mercado húngaro en 1977. Sin embargo, no llegó a ser un éxito total sino hasta 1981. Hacia 1982, se habían vendido 10 millones de cubos en Hungría, más que la población del país. Se estima que se vendieron 100 millones de ejemplares en el mundo entero. Aunque mucha gente no esté consciente de este hecho, el cubo es un problema la de teoría de conjuntos.

El cubo está compuesto de cubos más pequeños de 3 x 3 x 3 los cuales, en la posición inicial, están coloreados de modo tal que las 6 caras del cubo grande sean de color distinto. Los 9 cubos que forman cada cara pueden ser rotados en 45º. Hay 43,252,003,274,489,856,000 combinaciones diferentes de los cubos pequeños, siendo sólo una de ellas la posición inicial. La resolución del cubo muestra la importancia de los conjugadores y conmutadores en un conjunto.