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¿Por qué triángulos?
Porque son los bloques básicos de construcción para
cualquier figura rectilínea que se pueda construir.
El cuadrado, el pentágono u otro polígono puede
dividirse en triángulos por medio de líneas rectas
radiando desde un ángulo hacia los otros.
Para topografiar una tierra los topógrafos la
dividen en triángulos y marcan cada ángulo con un "punto
de referencia", que hoy en día es, a menudo, una
placa de latón redonda fijada en el suelo con un
agujero en el centro, sobre el que ponen sus
varillas y teodolitos (George Washington hizo este
trabajo cuando era un adolescente). Después de medir
la base, como la AB en el ejemplo del río, el
topógrafo medirá (de la forma descrita aquí) los
ángulos que se forman con el punto C y usar la
trigonometría para calcular las distancias AC y BC.
Estas pueden servir como base de 2 nuevos triángulos,
que a su vez suministrarán bases para dos más..., y
de esta forma construirá más y más triángulos hasta
que se cubra la tierra al completo con una red que
tiene distancias conocidas. Posteriormente se puede
añadir una red secundaria, subdividiendo los
triángulos grandes y marcando sus puntos con estacas
de hierro, que proporcionarán distancias conocidas
adicionales en las que se pueden basar los mapas o
los planos.
Un
gran proyecto de reconocimiento de los 1800s fue la
"Gran Planimetría Trigonométrica" de la India
británica. Se construyeron para el proyecto los
mayores teodolitos, monstruos con escalas circulares
de 36" de ancho, cuyas lecturas se hacían con
extraordinaria precisión con 5 microscopios. Cada
uno con su caja pesaba media tonelada y se
necesitaban 12 hombres para trasladarlo. Usándolos
el proyecto cubrió el país con múltiples cadenas de
triángulos en las direcciones norte-sur y este-oeste
(las áreas entre las cadenas de dejaron para más
tarde) y se necesitaron décadas para completarla.
En
1843 Andrew Scott Waugh se encargó del proyecto como
Inspector General y puso especial atención a las
montañas del Himalaya del norte de la India. Debido
a las nubes y a la niebla, esas montañas se ven
raramente desde las tierras bajas, y hasta 1847 no
se consiguieron varias mediciones. Después de
haberse hecho, los resultados necesitaron ser
analizados laboriosamente por "computadores" en las
oficinas de inspección; no eran máquinas sino
personas que efectuaban los cálculos trigonométricos.
La
historia dice que en 1852 el jefe de los "computadores"
fue hacia el director y le dijo: "Señor, hemos
descubierto la mayor montaña del mundo". Desde una
distancia de más de 100 millas (160 km), se observó
la montaña desde seis estaciones diferentes, y "no
dio lugar a que el observador sospechara que estaba
viendo a través de su telescopio el punto más alto
de la Tierra". Al principio se la designó como "Pico
XV" por la inspección, pero en 1856 Waugh la
denominó en memoria de Sir George Everest, su
predecesor en la oficina de jefe de inspectores. El
Everest fue el primero en registrarse y en usar los
teodolitos gigantes; ahora están expuestos en el
"Museum of the Survey of India" en Dehra Dum.
Hoy
en día la posición sobre la Tierra se puede
localizar de forma muy precisa usando el sistema de
posicionamiento global (GPS) de 24 satélites en
órbita exacta, que están difundiendo constantemente
su posición. Un pequeño instrumento electrónico de
mano recibe sus señales y nos devuelve nuestra
posición con un error de 10-20 metros ( aún es más
preciso para usos militares, los patrocinadores del
sistema). Se usa una gran cantidad de trigonometría,
pero lo hace todo la computadora que está dentro de
su aparato, lo único que usted necesita es pulsar
los botones apropiados.
Ahora que conoce un poco de los usos de la
trigonometría, bienvenido a avanzar por lo esencial
de ella.
Nota: Los
detalles sobre el descubrimiento del Monte Everest y
la cartografía de la India están tomados de "Who
Discovered Mount Everest?" de Parke A. Dickey,
Eos (Transactions of the American Geophysical
Union), vol 66, p. 697-700, 8 Octubre 1985. El
artículo se volvió a imprimir en la p. 54-59 de la
History of Geophysics, Vol. 4, editada por C.
Stewart Gillmor, publicada por la American
Geophysical Union, 1990. |
Razones
trigonométricas de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo
Números
complejos
Está
cerca de un ancho río y necesita conocer la
distancia hasta la otra orilla, digamos hasta el
árbol marcado en el dibujo por la letra C (para
simplificar, ignoremos la 3ª dimensión). ¿Cómo
hacerlo sin cruzar el río? 