Problemas famosos
Fecha de primera versión: 8-11-97
Fecha de última actualización: 19/04/2010
Los puentes de Köninsberg
En la ciudad de Köninsberg (ahora se llama Kaliningrado) (donde nació Kant y Hilbert) hay una isla, Kneihof, rodeada por dos brazos del río Pregel. Hay siete puentes que lo cruzan. ¿Puede una persona realizar un paseo de modo que cruce cada uno de los puentes una sola vez?
Solución: Euler demostró que no se puede hacer.
Problema de Teofrasto
Teofrasto fue a ver a Aristoteles, para hablar sobre la clasificación de las plantas. Llevaba a su perro, un mastín, atado con una cuerda de longitud L. Cuando llegó, ató la cuerda con un nudo corredizo, alrededor de una columna de radio R.
El perro, al que no le gustaba estar atado, tensionó la cuerda, y la cuerda se rompió. Hallar a que distancia del perro estaba el nudo corredizo cuando se rompió la cuerda.
Solución:
Sea y la distancia entre el perro y el nudo corredizo, x, la distancia entre el nudo corredizo y el punto en que la cuerda toca a la columna y a el ángulo que forma la cuerda con el eje de abscisas en C (el nudo).
La longitud de la cuerda es L = y + AC + AB + BC
La cuerda es tangente a la circunferencia en A y en B, por lo tanto el ángulo que forma la cuerda con el radio será de 90º.
Como se puede ver en el dibujo el ángulo en O correspondiente al arco de circunferencia en contacto con la cuerda es p + 2a, luego la longitud de la cuerda en contacto con la columna es (p + 2a)R.
Entonces L = y + 2x + (p + 2a)R
y = L - 2x - (p> + 2a)R
tg a = R/x
a = arctg R/x
y = L - 2x - p R - 2R arctg R/x
Obteniendo el máximo de esta función se resolvería el problema. El próximo curso lo continuaré.
Coloreando los mapas
Demostrar que para colorear un mapa, de forma que países con frontera común se pinten con colores distintos, sólo se necesitan cuatro colores.
Este problema fue propuesto a Augustus de Morgan por un antiguo alumno suyo, Francis Guthrie. El profesor no fue capaz de resolverlo y se lo envió a Hamilton en una carta de fecha 23 de octubre de 1852.
El problema ha resistido los embates de muchos matemáticos. En 1976 Kenneth Apel y Wolfgang Haken, de la Universidad de Urbana (Illinois) dieron una demostración con ordenador pero no existe ninguna demostración matemática.