Problemas resueltos de Planos

Fecha de primera versión: 30-04-2000
Fecha de última actualización: 19/04/2010

Problema 1:

Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto (1, 2, 3) y es paralelo al plano 3x - 2y + 4z - 5 = 0.

El vector 3i - 2j + 4k es perpendicular al plano dado y al que queremos calcular. El vector que va desde el punto (x, y, z) al punto (1, 2, 3) es (x - 1)i + (y - 2)j + (z - 3)k. El producto escalar de estos dos vectores es igual a cero y es la ecuación del plano:

(3i - 2j + 4k)[(x - 1)i + (y - 2)j + (z - 3)k] = 0

3x - 2y + 4z = 11

Problema 2:

Hallar la ecuación del plano que pasa por los puntos (1, 2, 3) y (3, -2, 1) y es perpendicular al plano 3x - 2y + 4z - 5 = 0.

Necesitamos un vector perpendicular al plano que nos piden. Este vector lo podemos calcular multiplicando vectorialmente el vector 3i - 2j + 4k y el vector formado por los puntos que nos dan 2i - 4j - 2k.

El producto vectorial de los dos vectores es -20i - 14j + 8k

Calculemos el vector formado por la unión de los puntos (x, y, z) y cualquiera de los dos que tenemos, por ejemplo, (1, 2, 3). Este vector será: [(x - 1)i + (y - 2)j + (z - 3)k]

El producto escalar de estos dos vectores es 20x + 14y - 8z = 24

Problema 3:

Hallar la ecuación del plano que pasa por los puntos (1, 2, 3), (3, -2, 1) y (5, 0, -4).

Necesitamos un vector perpendicular al plano que nos piden. Este vector lo podemos calcular multiplicando vectorialmente los vectores que se forman al unir el primer punto con el segundo, 2i - 4j - 2k y el primer punto con el tercero 4i - 2j - 7k (valdría cualquier otra combinación).

El producto vectorial de los dos vectores es 24i + 6j + 12k

Calculemos el vector formado por la unión de los puntos (x, y, z) y cualquiera de los tres que tenemos, por ejemplo, (1, 2, 3). Este vector será: [(x - 1)i + (y - 2)j + (z - 3)k]

El producto escalar de estos dos vectores es 4x + y + 2z = 12

Problema 4:

Hallar la distancia del punto (1, 2, 3) al plano 3x - 2y + 5z = 10.

Cogemos un punto cualquiera en el plano. Es muy fácil: hacemos x = 0, y = 0 y lo sustituimos en la ecuación del plano. Entonces z = 2. Ya tenemos un punto en el plano (0, 0, 2).

Calculamos el vector que une el punto (1, 2, 3) con (0, 0, 2). Este vector será: i + 2j + k.

Calculamos  el vector unitario perpendicular al plano (tenemos que dividir cada componente del vector por el módulo del vector). El módulo es .