Plano
Fecha de primera versión: 30-04-2000
Fecha de última actualización: 19/04/2010
La ecuación de un plano que pasa por el punto (x0, y0, z0) y es perpendicular a la dirección dada por el vector Ai + Bj + Ck cumple la condición de que el producto escalar (Ai + Bj + Ck)[(x - x0)i + (y - y0)j + (z - z0)K] = 0. Haciendo este producto escalar obtenemos la ecuación general del plano que es Ax + By + Cz + D = 0. que es la ecuación general, implícita o cartesiana del plano.
Si conocemos un punto del plano (x0, y0, z0) y un vector Ai + Bj + Ck perpendicular al plano, entonces la ecuación del plano es:
(x - x0)/A = (y - y0)/B = (z - z0)/C
Si conocemos tres puntos (no alineados) (x0, y0, z0), (x1, y1,z1) y (x2, y2, z2) entonces podemos averiguar la ecuación del plano igualando a cero el determinante de esta matriz:
x - x0
y - y0 z - z0
x1 - x0 y1 - y0
z1 - z0
x2 - x0 y2 - y0
z2 - z0
Supongamos que nos piden la ecuación del plano que pasa por los puntos (0,0,0), (1,2,1) y (2,2,2).
x
y z
1 2 1
2 2 2
Resolviendo este determinante nos queda: 2x - 2z. Igualando a cero queda x - z = 0.
En el estudio de las curvas en el espacio se utilizan los conceptos de plano osculador, plano normal y plano rectificante.
Plano tangente a una superficie
La ecuación del plano tangente a la superficie F(x,y,z) = 0 en el punto (a,b,c).