Recta en el plano
Fecha de primera versión: 02-04-98
Fecha de última actualización: 19/04/2010
Si en una ecuación de esta forma: ax + by + c = 0, damos valores a x e y que cumplan la ecuación, y representamos estos puntos en una gráfica, veremos que la gráfica es una recta.
Si despejamos la 'y', la ecuación se convierte en: y = mx + n, m representa la pendiente de la recta (la pendiente es el cociente entre lo que sube o baja entre dos puntos de la recta y la distancia horizontal entre ellos, dicho matemáticamente es la tangente del ángulo que forma la recta con otra recta horizontal) y n es el punto del eje y por donde pasa la recta.
Si m = 0 la recta es horizontal (paralela al eje x). Si y = 0, la recta es perpendicular. Si n = 0 la recta pasa por el origen.
Es muy frecuente encontrar fórmulas para hallar la ecuación de la recta que pasa por un punto y tiene una pendiente dada, o para hallar la ecuación de la recta que pasa por dos puntos. Tengo una buena noticia para los que tienen mala memoria: NO SON NECESARIAS.
Si nos dicen, por ejemplo, que una recta tiene una pendiente de 2 y que pasa por el punto (1,3), sólo tenemos que sustituir estos valores en la ecuación general y nos quedaría: 3 = 2·1 + n, y despejando n, queda n = 1. Por lo tanto la ecuación de esa recta será: y = 2x + 1
Como veis es muy fácil. A algunos profesores también les parece muy fácil y para hacerlo más difícil en vez de decir la pendiente dicen el ángulo que forma la recta con el eje x o con la horizontal. Es igual de fácil, la pendiente es la tangente de ese ángulo. Otros profesores (que pretenden que nos equivoquemos, ya sabéis que hay profesores de todo tipo) dicen el ángulo que forma la recta con el eje 'y' o con la vertical, en este caso el ángulo que tenemos que utilizar es el complementario (90 - ángulo).
Si nos dicen que la recta pasa por el punto (1,3) y (2,5), sólo tenemos que sustituir estos valores en la ecuación general y obtendremos dos ecuaciones con dos incógnitas:
3 = m·1 + n
5 = m·2 + n
Paralelismo
Saber si dos rectas son paralelas es muy fácil: Sólo tenemos que calcular sus pendientes, si son iguales las rectas son paralelas.
Perpendicularidad
Saber si dos rectas son perpendiculares es muy fácil: Sólo tenemos que calcular sus pendientes, m y m', y multiplicarlas, si el resultado es -1, las rectas son perpendiculares.
Ángulo de dos rectas que se cortan
La forma más fácil es calcular los ángulos que forman cada una de las rectas con el eje x (esto es muy fácil: sólo tenemos que ver la pendiente de la recta y recordar que la pendiente es la tangente del ángulo que forma la recta con el eje x) y restarlos.
Distancia de un punto a una recta
Los malos profesores te hacen estudiar fórmulas, los buenos te enseñarán a razonar.
Seguramente tendrás una fórmula para calcular la distancia de un punto a una recta. No la necesitas si sabes pensar:
La distancia de un punto a una recta es la medida sobre una recta perpendicular a la anterior y que pase por el punto (lógicamente).
Como nos darán la ecuación de la recta, sabremos la pendiente de la recta (sea m esta pendiente), entonces la pendiente de las rectas perpendiculares a esta tendrán pendiente -1/m. Como además esa recta tiene que pasar por el punto que nos dicen, nos será muy fácil calcular la ecuación de esa recta.
Ya tenemos entonces las ecuaciones de las dos rectas. Si resolvemos el sistema de ecuaciones formado por las ecuaciones de las dos rectas, obtendremos el punto en el que se cortan las rectas.
Ya tenemos entonces las coordenadas de dos puntos (uno el punto original y otro sobre la recta, este punto es el mas cercano al primero), y entonces si hacemos un dibujo de los dos puntos y ponemos las coordenadas de los puntos sabremos calcular la distancia.
Nombres de las distintas formas de expresar la ecuación de una recta
Supongamos que tenemos la ecuación de una recta y haciendo las modificaciones oportunas, la ponemos en esta forma: y = mx + n. Esta forma se llama forma explicita. En este caso m es la pendiente de la recta.
Si la ponemos en esta forma: y - y0 = m(x - x0), decimos que está en forma punto-pendiente. En este caso m es la pendiente de la recta y x0,y0 las coordenadas de un punto cualquiera de la recta.
Si la ponemos en esta forma: x/a + y/b = 1 decimos que está en la forma canónica o segmentaria. En este caso, a es la distancia desde el origen de coordenadas al punto donde la recta corta al eje X y b es la distancia desde el origen de coordenadas al punto donde la recta corta al eje Y.
Si la ponemos en esta forma ax + by + c = 0, decimos que está en forma general. En este caso, el vector (a, b) se llama vector característico de la recta y es perpendicular a la recta.
Posición relativa de dos rectas
Dos rectas pueden:
1 Cortarse en un punto.
Para saber las coordenadas del punto de corte de dos rectas, sólo tenemos que resolver el sistema de ecuaciones formado por las ecuaciones de las dos rectas.
Sean las rectas y = 2x e y = x - 5. Para calcular el punto donde se cortan esas rectas, resolvemos el sistema. Sustituyendo en la segunda ecuación el valor de y de la primera tenemos: 2x = x - 5. Luego x = - 5 e y = -10.Lo que hemos hecho al resolver el sistema de ecuaciones es buscar unos valores de x e y que satisfagan las dos ecuaciones simultáneamente, que es la condición que tiene el punto de corte: pertenece a las dos rectas.
2 Ser paralelas.
Dos rectas son paralelas si sus pendientes son iguales.
3 Ser coincidentes.
Esto significa que la recta es la misma. Ocurre que a veces, nos dan la ecuación de la recta en distinta forma, pero en realidad se refieren a la misma recta.
En esta dirección encontrarás todo sobre las curvas.