Problemas de cónicas

Estudiar la cónica x² - 2x + 4y² - 16y + 13 = 0

En este caso falta el término en xy (el que se quita mediante el giro) por lo que hacemos la traslación.

x = x' + h
y = y' + k

Sustituimos en la ecuación:

(x' + h)² - 2(x' + h) + 4(y' + k)² - 16(y' + k) + 13 = 0

Operando queda:

x'² + h² + 2x'h - 2x' - 2h + 4y^'2 + 4k² + 8ky^' - 16y^' - 16k + 13 = 0

Agrupando términos:

x'² + 4y^'2  + (2h - 2)x' + (8k - 16)y^' - 16k + 13 + h² - 2h +  4k² =  0

Como queremos que desaparezcan los términos en x' e y':

2h - 2 = 0
8k - 16 = 0

Entonces h = 1 y k = 2

Sustituyendo estos valores en la ecuación nos queda:

x'² + 4y^'2  - 4  =  0

y poniendo la ecuación en forma canónica

x'² / 4 + y^'2 / 1  =  1

Por lo tanto la ecuación es una elipse real.