Recta en el espacio

Fecha de primera versión: 02-04-98
Fecha de última actualización: 19/04/2010

La ecuación de una recta que pasa por el punto (x₀, y₀, z₀) y es paralela a la dirección dada por el vector a₁i + a₂j + a₃k es

Esta ecuación se puede descomponer en:

a₂(x - x₀) = a₁(y - y₀)
a₃(y - y₀) = a₂(z - z₀)
a₃(x - x₀) = a₁(z - z₀)

Cada una de estas ecuaciones es la ecuación de un plano. Podemos definir una recta como la intersección de dos (cualesquiera) de estos planos.

Los cosenos directores de la recta son:

 

Posición relativa de dos rectas

Dos rectas pueden:

1 Cortarse en un punto.

Para saber las coordenadas del punto de corte de dos rectas, sólo tenemos que resolver el sistema de ecuaciones formado por las ecuaciones de las dos rectas.

Sean las rectas y = 2x e y = x - 5. Para calcular el punto donde se cortan esas rectas, resolvemos el sistema. Sustituyendo en la segunda ecuación el valor de y de la primera tenemos: 2x = x - 5. Luego x = - 5 e y = -10. 

Lo que hemos hecho al resolver el sistema de ecuaciones es buscar unos valores de x e y que satisfagan las dos ecuaciones simultáneamente, que es la condición que tiene el punto de corte: pertenece a las dos rectas.

2 Ser paralelas.

Dos rectas son paralelas si sus pendientes son iguales.

3 Cruzarse.

Dos rectas sólo se pueden cruzar si no están en el mismo plano. Si estén en el mimos plano, solo pueden cortarse o ser paralelas.

4 Ser coincidentes.

Esto significa que la recta es la misma. Ocurre que a veces, nos dan la ecuación de la recta en distinta forma, pero en realidad se refieren a la misma recta.

Dibuja la curva

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