Los vectores libres se pueden sumar. Gráficamente la suma de vectores libres equivale a poner un vector a continuación del otro. El vector suma será el vector que va desde el origen del primer vector al extremo del último vector. Si nos dan las componentes de dos vectores, la suma de esos vectores será igual a la suma de las componentes.
Ejemplo: el vector libre a, que está en un plano, tiene componentes 3 y 4 (se representa así (3,4)) y el vector libre b tiene componentes (0,-2), la suma de a y b será (3,2).Los vectores libres se pueden multiplicar por un número real n. El vector resultante será un vector de módulo n veces el original, de la misma dirección que el original y de sentido igual al original si n es positivo y de sentido contrario si n es negativo.
El producto escalar de dos vectores, a y b, se define como el producto de sus módulos y el coseno del ángulo que forman a y b.
Otra forma de calcular el producto escalar de dos vectores es multiplicar entre si las coordenadas respectivas y sumarlas.
El producto escalar de dos vectores es un número (esto que parece una tontería es muy importante, porque quiere decir que no es un vector)
El producto escalar tiene las propiedades siguientes:
Conmutativa: a.b = b.a
Distributiva respecto a la suma: a.(b+c) = a.b +a.c
Ejemplo: Sean los vectores (1,1,1), (0,2,-1).
El producto escalar (1,1,1).(0,2,-1) es 1.0 + 1.2 + 1.-1 = 1.
El producto vectorial de dos vectores, a y b, se define como el producto de sus módulos y el seno del ángulo que forman a y b.
El producto vectorial de dos vectores es otro vector, perpendicular al plano formado por los vectores a y b.