Teniendo en cuenta que los vectores se pueden sumar entre sí y que se pueden multiplicar por números reales, podremos obtener vectores haciendo estas operaciones de suma y multiplicación. Supongamos que un vector v es el resultado de multiplicar un vector a por 5 y sumarle otro vector b (v = 5a + b), en este caso diremos que v es una combinación lineal de a y b.
Dado un conjunto de vectores, si ninguno de ellos es combinación lineal de los demás, se dice que ese conjunto de vectores son linealmente independientes y linealmente dependientes en caso contrario.
En el plano, un vector queda definido por dos componentes (en el espacio de tres dimensiones, necesitaríamos tres). Cualquier par de vectores linealmente independientes forman una base del plano vectorial.
En un plano, tres vectores son siempre linealmente dependientes. Esto quiere decir, que cualquiera de los tres vectores se puede obtener como una combinación lineal de los otros dos.
¿Cómo averiguar si dos vectores, referidos a una base, en un plano son linealmente dependientes?
Supongamos que nos pregunta si los vectores a = 4i - 5j y b = 3i + j, que están referidos a una base B = {i,j}, son linealmente independientes. Para que a y b sean dependientes tendría que existir un único número real k que cumpliese la ecuación ka = b. O sea, k(4i - 5j) = 3i + j. Igualando las componentes: 4k = 3 y -5k = 1. Para que se cumpla la primera ecuación k tiene que valer 3/4 y para que se cumpla la segunda k tiene que valer -1/5, por lo tanto los dos vectores son linealmente independientes.