Cambio de base de un vector

Sea x un vector que en base B₁ (de vectores unitarios u₁, u₂, ...) será igual a m₁u₁+ m₂u₂ + m₃u₃ + ... El mismo vector, utilizando otra base B₂ (de vectores unitarios v₁, v₂, ...) será n₁v₁+ n₂v₂ + n₃v₃ + ...

Supongamos que u₁, u₂, ... se representan en la base B₂ de esta forma:

u₁ = a₁₁v₁ + a₂₁v₂ + ... + a_n1v_n
u₂ = a₁₂v₁ + a₂₂v₂ + ... + a_n2v_{n
.............................................................}
u_n = a_1nv₁ + a_2nv₂ + ... + a_nnv_n

Por lo tanto, sustituyendo estas ecuaciones en la fórmula original nos queda:

x = m₁(a₁₁v₁ + a₂₁v₂ + ... + a_n1v_n ) +  m₂(a₁₂v₁ + a₂₂v₂ + ... + a_n2v_n) + ... 

Reordenando queda:

x = (m₁a₁₁ + m₂a₁₂ + ... + m_na_1n)v₁ + ... + (m₁a_n1 + m₂a_n2 + ... + m_na_nn)v_n 

Comparando con la fórmula x = n₁v₁+ n₂v₂ + n₃v₃ + ... deducimos que:

n₁ = m₁a₁₁ + m₂a₁₂ + ... + m_na_1n
n₂ = m₁a₂₁ + m₂a₂₂ + ... + m_na_{2n
.................................................................}
n_n = m₁a_nn + m₂a_n2 + ... + m_na_nn

Esto se puede expresar de forma matricial:

n₁     a₁₁ + a₁₂ + ... + a_1n       m₁ 
n₂ = a₂₁ + a₂₂ + ... + a_2n       m_{2 
.....    ........................................}
n_n    a_2n + a_n2 + ... + a_nn       m_n 

Llamando A a la matriz de coeficientes, X' al vector en la base B₂ y X al vector en la base B₁ nos queda:

X' = AX 

despejando X nos queda:

X = A^-1X'