Suma de potencias de números enteros

Fecha de primera versión: 03-02-02
Fecha de última actualización: 19/04/2010

1 + 2 + 3 + ... + (n - 1) = n(n - 1) / 2 = n² / 2 - n / 2
1² + 2² + 3² + ... + (n - 1)² = n(n - 1)(2n - 1) / 6 = n³ / 3 - n² / 2 + n / 6
1³ + 2³ + 3³ + ... + (n - 1)³ = n²(n - 1)² / 4 = n⁴/4 - n³/2 + n²/4

Observad que en la suma de las potencias, el polinomio resultante tiene potencia n + 1.

Jacob Bernoulli dedujo la fórmula general.

1ⁿ + 2ⁿ + 3ⁿ + ... + (n - 1)ⁿ = 1/n [ B_{k + 1} (n) - B_{k + 1}(0) ]

Siendo B_{k + 1} (n) el polinomio de Bernoulli de grado k + 1.

B_k(n) = n^k + k B₁ n^{k - 1} + k (k - 1) / 2! B₂n^{k - 2} + k (k - 1) (k - 2) / 3! B₃n^{k - 3} + ... + k B_{k -1} n + B_k 

Siendo B₁, B₂, B₃, ... los números de Bernoulli, cuya fórmula es:

B_{k -1} = - 1/k [1 + kB₁ + k (k - 1) / 2! B₂ + ... + k (k - 1) / 2! B_{k - 2}]

n	Bn
1	-1 / 2
2	1 / 6
4	-1 / 30
6	1 / 42
8	-1 / 30
10	5 / 66
12	-694 / 2730
14	7/6
16	-3617 / 510