Operaciones con sucesiones
Fecha de primera versión: 28-03-2003
Fecha de última actualización: 19/04/2010
Como las sucesiones son conjuntos ordenados de números, es posible hacer operaciones algebraicas entre dos o más sucesiones.
El límite de la suma algebraica de dos sucesiones convergentes es la suma algebraica de sus límites.
Si las sucesiones son divergentes la suma también es divergente y por lo tanto su límite es infinito.
El límite del producto de dos sucesiones convergentes es el producto de sus límites.
El límite del producto de una sucesión convergente por un número es igual al producto del limite de la sucesión por el número.
El límite del producto de una sucesión divergente por un número positivo, sigue siendo divergente y por lo tanto su límite es infinito (más o infinito o menos infinito, según lo sea la sucesión original).
El límite del producto de una sucesión divergente por un número negativo, sigue siendo divergente y por lo tanto su límite es infinito (con el signo cambiado a la sucesión original).
El producto de los términos de una sucesión divergente por otra acotada inferiormente y que no tienda a cero, es otra sucesión divergente.
El producto de los términos de una sucesión divergente por otra infinitésima, produce otra sucesión que puede ser, divergente o convergente u oscilante o indeterminada.
Si dividendo y divisor son sucesiones infinitésimas, la sucesión cociente es una indeterminación de la forma 0/0.
Si el dividendo es un infinitésimo y el divisor una sucesión convergente, la sucesión cociente es un infinitésimo.
Si el dividendo es un infinitésimo y el divisor una sucesión divergente, la sucesión cociente es un infinitésimo.
Si el dividendo es una sucesión convergente y el divisor una sucesión infinitésima, la sucesión cociente es divergente.
Si dividendo y divisor son convergentes, la sucesión cociente es divergente de límite, el cociente de los límites de las sucesiones originales.
Si el dividendo es una sucesión convergente y el divisor una sucesión divergente, la sucesión cociente es una sucesión infinitésima.
Si el dividendo es una sucesión divergente y el divisor una sucesión infinitésima, la sucesión cociente es divergente.
Si el dividendo es una sucesión divergente y el divisor una sucesión convergente, la sucesión cociente es divergente.
Si dividendo y divisor son ambas divergentes, la sucesión cociente es una indeterminación de la forma infinito/infinito.
Si la sucesión es infinitésima (de términos positivos, obviamente) y la base del logaritmo está comprendida entre 0 y 1, se obtiene una sucesión divergente de límite infinito.
Si la sucesión es infinitésima (de términos positivos, obviamente) y la base del logaritmo es mayor que 1, se obtiene una sucesión divergente de límite menos infinito.
Si la sucesión es convergente, de límite A, la sucesión resultante es convergente de límite el logaritmo de A.
Si la sucesión es divergente, de límite infinito y la base del logaritmo es mayor que 1, la sucesión resultante es divergente de límite infinito.
Si la sucesión es divergente, de límite infinito y la base del logaritmo está comprendido entre 0 y 1, la sucesión resultante es divergente de límite menos infinito.
Como resultado de las operaciones anteriores se pueden producir casos en los que no se pueda calcular el valor y por eso se llaman indeterminaciones.
Las indeterminaciones son:
¥ - ¥
¥ / ¥
0 / 0
0 * ¥
00
¥ 0
1¥
Es evidente que el símbolo ¥ representa un número muy grande pero ya no es tan evidente que los números cero y uno que aparecen en estas expresiones no son exactamente estos números si no números infinitamente próximos a ellos. Por eso, un número infinitamente próximo a 1 elevado a un número infinitamente grande es una indeterminación.