Infinitésimos

Comparación de infinitésimos

Algunas sucesiones se acercan a cero mas rápidamente que otras.

Para comparar dos infinitésimos, se dividen, si el resultado es un numero real (que no sea cero) los infinitésimos son del mismo orden, si es igual a cero, el infinitésimo del numerador es de orden superior al del denominador, si es infinito, el infinitésimo del numerador es de orden inferior al del denominador. 

Si el cociente es un número complejo, cambiamos el numerador por el denominador y si el cociente es 0 el infinitésimo que esta en le numerador (en el segundo cociente) es de orden superior al situado en el denominador, si el segundo cociente sigue siendo complejo, los infinitésimos son incomparables.

Orden de un infinitésimo

La sucesión de término general 1/n se llama infinitésimo principal.

Orden de un infinitésimo es el valor numérico, h,  del exponente al que hay que elevar la sucesión de término general 1/n, para que el cociente entre la sucesión de la que queremos calcular el orden, a_n, y el resultado de elevar 1/n a la h, sea un número k, distinto de cero y de infinito. 

lim a_n / (1/n)^h = k

Sea el infinitésimo 1 - cos² 1/n
El límite (1 - cos² 1/n) / (1/n)^h = lim (sen² 1/n) / (1/n)^h 
Pero, para valores pequeños del ángulo el seno es igual al ángulo, entonces podemos poner lim (sen² 1/n) / (1/n)^h = lim (1/n)² / (1/n)^h = lim n^h/n²  
Este límite es 1 para h = 2, luego el orden del infinitésimo es 2.

A veces, en lugar de utilizar la sucesión 1/n, como unidad de comparación, se utiliza otra sucesión.

Forma normal de un infinitésimo

La expresión que hemos utilizado para calcular el orden de un infinitésimo, a_n / (1/n)^h = k, se puede escribir de esta forma:

a_n = (k + b_n) / n^h donde b_n es otro infinitésimo. A esta expresión se llama forma normal respecto al infinitésimo 1/n

La forma normal del infinitésimo 1 - cos² 1/n es (1 +b_n)/n²