Logaritmos

Fecha de primera versión: 22-04-98
Fecha de última actualización: 19/04/2010

Atención: si sigues leyendo te enterarás para que sirven los logaritmos.

Definición

Es fundamental comprender la definición de logaritmo. La definición es esta:

El logaritmo en base a de un número n, es otro número b, tal que cumple esta ecuación: a^b = n.

Dicho matemáticamente log_a n = b ==> a^b = n.

No continúes mientras no te grabes esta definición en tu cabeza de tal manera que no se te olvide nunca.

Si lo comprendes puedes continuar.

Supongamos que el logaritmo en base a de un numero n₁ sea b₁ (log_a n₁ = b₁).

Entonces a^b1 = n₁.

Supongamos que el logaritmo en base a de un numero n₂ sea b₂ (log_a n₂ = b₂).

Entonces a^b2 = n₂.

Supongamos que nos piden que calculemos el logaritmo del producto n₁.n₂, y digamos que es b. Si tenemos en cuenta las igualdades anteriores nos queda:

log_a n₁.n₂ = log_a a^b1.a^b2 = b

a^b = a^b1.a^b2 = a^b1+b2

Para que esta igualdad se cumpla b = b1 + b2, por lo tanto el logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores.

De igual manera se demostraría que el logaritmo de un cociente es la diferencia de los logaritmos del numerador y denominador, y con un poco más de trabajo que el logaritmo de una exponenciación es igual al exponente por el logaritmo de la base.

Ya podemos responder a la pregunta de para qué sirven los logaritmos: Hace no muchos años, no había ordenadores, ni calculadoras, y por lo tanto multiplicar y dividir (y muchísimo mas la exponenciación) cuando los números implicados eran grandes, era una tarea ardua (y casi seguro que se cometían errores). Con los logaritmos las multiplicaciones se convierten en sumas, las divisiones en restas y la exponenciación en multiplicaciones, con lo que se facilitaban mucho las operaciones. Una vez obtenido el resultado se calculaba el antilogaritmo para obtener el numero real.

¿Cómo se cambia de base un logaritmo?

Según la definición de logaritmo, log_a b = c, quiere decir que b = a^c

Tomando logaritmos en base n, a esta última expresión, log_n b = c log_n a, pero c = log_a b. Entonces log_a b= log_n b / log_n a

Orígenes

Los logaritmos se atribuyen a John Napier. Publicó su trabajo en 1614 en el libro Mirifici logarithmorum canonis descriptio (Descripción de la maravillosa regla de los logaritmos).

Napier era un terrateniente escocés (no era por lo tanto, un profesional de las matemáticas).

Napier seguramente estudió las sucesiones de las potencias de un número y se percató que los productos y cocientes de dos números de dichas sucesiones son iguales a las potencias de las sumas o diferencias de los exponentes de dichos números (aⁿ.a^m = a^(n+m)). Pero estas sucesiones no resultaban útiles para el cálculo porque entre dos potencias sucesivas había un hueco muy grande y la interpolación que había que hacer era muy imprecisa.

Para conseguir que los términos de la progresión geométrica formada por las potencias enteras de un número estuviesen próximas, tomó un número muy próximo a 1 (Napier tomó el número 0,9999999 = 1- 10^-7). Para evitar el uso de decimales multiplicó todas las potencias por 10⁷. Entonces cualquier número a = 10⁷(1-10^-7)^b . b sería el logaritmo de a.

Napier llamó al principio a estos número artificiales, pero mas tarde se decidió por la unión de dos palabras griegas logos (razón) y arithmos (número).

Este sistema de cálculo fue aceptado con gran rapidez. Entre los mas entusiastas estaba Henry Briggs. Briggs visitó a Napier en 1615 y entre los dos vieron la posibilidad de hacer algunas modificaciones.

Briggs, en vez de tomar un número muy próximo a 1, partió de la igualdad log 10 = 1 y después fue calculando los logaritmos de las raíces sucesivas de 10:

Raíz	Número	Logaritmo
101	10	1
101/2	3,1622777	0,5
101/4	1,7782794	0,25
101/8	1,3335214	0,125
...	...	...
101/2048	1,0011249	0,00048828
101/4096	1,0005623	0,00024414
101/8192	1,0002811	0,00012207

Supongamos que queremos calcular el logaritmo de 5

Raíz	Número
51	5
51/2	2,2360680
51/4	1,4953488
51/8	1,2228445
...	...
51/2048	1,0007861
51/4096	1,0003930
51/8192	1,0001965

Vemos que  5^1/4096 = 1,0003930 está entre 10^1/4096 = 1,0005623 y 10^1/8192 = 1,0002811 y sabemos los logaritmos de estos dos números, así que podemos calcular el logaritmo de 5^1/4096 interpolando:

(x - 0,00012207) / (0,00024414 - 0,00012207) = (1,0003930 - 1,0002811) / (1,0005623 - 1,0002811).

Despejando deducimos que x = 0, 000170646. Como log 5^1/4096 = 1/4096 log 5 = 0, 000170646, obtenemos log 5 = 0,698966

En 1617 publicó Logarithnmorum chilias prima (Logaritmos de los números 1 al 1000) y en 1624 publicó Arithmetica logarithmica.

Bases de logaritmos más utilizadas.

De lo visto hasta ahora se deduce fácilmente que el logaritmo de un número depende de la base que utilicemos.

Las bases más utilizadas son 10 y e. Los logaritmos de base 10 se llaman logaritmos decimales y los de base e neperianos o naturales.

El logaritmo decimal de un número (por ejemplo log 3510 = 3,545307...) tiene una parte entera y una parte decimal. A la parte entera (en nuestro ejemplo 3) se le llama característica del logaritmo y a la parte decimal (en nuestro ejemplo 545307) mantisa del logaritmo.

Logaritmos de números negativos

Para Johann Bernoulli, los logaritmos de los números negativos coincidían con los logaritmos de los números positivos. Se basaba en las siguientes igualdades: 2 ln(-x) = ln(-x)² = ln(x²) = 2 lnx. Entonces ln(-1) = ln (1) = 0.

Leibniz no estaba de acuerdo. Partiendo del desarrollo ln(1 + x) = x - x²/2 + x³/3 - x⁴/4 + ... y haciendo x = - 2, se demostraba claramente que el ln(-1) no es cero.

Euler resolvió la disputa. Para Euler ln(-x) = ln[(-1)x] = ln x + ln(-1). Para obtener el valor de ln (-1), partió de la igualdad e^ix = cos x + i sen x y haciendo x = p e^ip = -1 y aplicando logaritmos a los dos lados de la igualdad, ln(-1) = ln e^ip = ip

Como las funciones trigonométricas son periódicas, hay infinitos logaritmos posibles por cada número negativo:  e^i(2n+1)pi = -1     

Ejemplo: ln(-3) = ln(-1·3) = ln(-1) + ln(3) = ln(3) + i(2n+1)pi

En general, para un número complejo:

ln(z) = ln|z| + i arg(z)

donde |z| es el módulo y arg(z) es el argumento.

Si z = x + i y

ln(z) = ln raiz(x^2+y^2) + i arctg(y/x)

Logaritmos de números complejos

Euler fue el primero que extendió los logaritmos a los números complejos. Dado el número complejo a + bi, haciendo y escogiendo  q  de tal forma que sen q = b/c

ln(a + bi) = ln c + i(q + 2pk) (k = 0, 1, 2, ...)

Otra definición de logaritmo

El logaritmo de x, si x es un número real positivo, se define como .

Según esta definición el logaritmo de x sería el área situada bajo la curva y = 1/x, el eje x y las abscisas 1 y x.

Gráfica de la función logaritmo