Números perfectos

Fecha de primera versión: Marzo 1997
Fecha de última actualización: 06-11-99

Un número se dice que es perfecto cuando la suma de sus divisores propios es igual al número.

Los primeros números perfectos son: 6, 28, 496, 8128, 33550336, 8589869056. Observa que todos los números perfectos terminan en 6 o en 8, pero ¡ojo! no se van alternando indefinidamente.

Los números perfectos tienen una bonita propiedad, descubierta por Pitágoras:

6 = 1+2+3

28 = 1+2+3+4+5+6+7

496 = 1+2+3+4+5+6+7+...+30+31

8128 = 1+2+3+...+126+127

Euclides descubrió que los números perfectos tienen esta forma:

6 = 2¹.(2²-1)

28 = 2².(2³-1)

496 = 2⁴.(2⁵-1)

8128 = 2⁶.(2⁷-1)

Este número, 2²¹⁶⁰⁹⁰.(2²¹⁶⁰⁹¹-1), que tiene mas de cien mil dígitos, es perfecto.

Los números perfectos cumplen la condición 2^n-1(2ⁿ-1) siendo 2ⁿ-1 un número primo de Mersenne. Por lo tanto, los números perfectos y los números primos de Mersenne están relacionados.

Un número se dice ligeramente deficiente si la suma de sus divisores es igual al número - 1. Hay bastantes números que cumplen esta condición, en cambio no se ha encontrado ningún número ligeramente abundante (cuando sus divisores suman el número +1). Nadie ha conseguido demostrar que no existen números ligeramente abundantes.

Un número es abundante cuando la suma de sus divisores propios es mayor que el número.

Un número es deficitario cuando la suma de sus divisores propios es menor que el número.

Problemas no resueltos

Hay algún numero perfecto impar?

Hay infinitos números perfectos?