En la época de Pitágoras, se creía que los únicos números que existían eran los naturales (los que empleamos para contar) y los racionales (fracciones). Los pitagóricos descubrieron que no podían medir la diagonal de un cuadrado con ningún número. Mantuvieron en secreto el descubrimiento porque su filosofía se basaba en 'todo es número'.
Tenemos que demostrar que no hay ningún número racional que elevado al cuadrado sea igual a 2.
Supongamos que existe un número racional expresado de forma irreducible (que no se puede simplificar más) que cumple la ecuación (p/q)2 = 2, o lo que es lo mismo: p2 = 2q2, de modo que p2 debe ser par, al ser igual a q2 multiplicado por 2. Pero si p2 es par, p también es par, porque no existe ningún número impar cuyo cuadrado sea un número par.
Veamos ahora si q es impar. Como p es par, podemos escribir p = 2r, donde r es la mitad de p. Por lo tanto 2r2= q2, y por el mismo motivo q también debe ser par.
Pero no es posible que p y q sean ambos números pares, porque entonces la fracción p/q es reducible (podríamos simplificar el numerador y denominador dividiendo por 2) y hemos empezado diciendo que eran irreducibles.
Se trata de representar sobre la recta de los números reales, los números irracionales.
Solo necesitas un compás.
Supongamos que necesitas calcular la raíz cuadrada de 2. Abres el compás y sobre la recta (que representa los números reales) haces centro en el punto que representa el cero y con la abertura que has elegido en el compás, marcas la posición que presentará el uno. Trazas una perpendicular a la recta de los números reales por el punto que representa el 1 (supongo que esto sabrás hacerlo, solo necesitas el compás) y sobre esta recta, haciendo centro en 1, y con el mismo radio que has utilizado para marcar el 1, marcas la posición del 1 sobre la recta perpendicular.
La distancia que hay entre el punto que has tomado como cero y este ultimo punto es raíz de 2. Para marcar sqr(2) sobre la recta de los números reales, sólo tienes que hacer centro en cero y abrir el compás hasta que llegues al punto sobre la recta perpendicular. Con esa abertura del compás y con centro en cero, marcas la posición de sqr(2) sobre la recta de los números reales.
Cuando ya tienes sqr(2) los demás números salen de manera similar. Para sqr(3), tienes que utilizar el 1 y sqr(2). Para sqr(5) utilizas sqr(2) dos veces, y así sucesivamente.