Números amigos
Fecha de primera versión: Marzo 1997
Fecha de última actualización: 19/04/2010
Se dice que dos números son amigos si la suma de los divisores de cada uno de ellos es igual al otro número.
Los números 220 y 284 son amigos. Los divisores de 220 son: 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110 y 220, si los sumamos (excluyendo 220) da 284. Los divisores de 284 son: 1, 2, 4, 71, 142 y 284, si los sumamos (excluyendo 284) da 220.
Este par de números amigos era conocido por los griegos. El siguiente par de números amigos fue descubierto en el siglo XIII y redescubierto por Fermat en 1636 (los números 17296 y 18416). Descartes descubrió el siguiente par: 9363584 y 9437056.
Fermat estableció que para cualquier n > 1 si p, q y r (definidos por las formulas indicadas debajo) son primos, los números 2npq y 2nr son amigos.
p = 3.2n-1 -1
q = 3.2n -1
r = 92n+1 -1
No todos los números amigos se obtienen con esta formula, pero si son amigos todos los números que se obtienen con la formula.
Para
n = 2, se obtienen los números 220 y 284
El tema no avanzó más hasta que Euler descubrió la norma que cumplen estos números.
Los números perfectos cumplen la condición 2n-1(2n-1) siendo 2n-1 un número primo de Mersenne.
Todos estos grandes matemáticos se saltaron el par 1184-1210 que fue descubierto por un niño italiano de 16 años Niccolò Paganini.
Los números sociables son una generalización de los números amigos. Tres o más números se dice que son sociables si la suma de los divisores del primero da el segundo, los del segundo, el tercero, y los del último el primero.