Integrales trigonométricas

Fecha de primera versión: 25-08-01
Fecha de última actualización: 25-08-01

Si la integral es trigonométrica tened en cuenta las siguientes identidades:

sen²x + cos²x = 1
1 + tag²x = sec²x
1 + cot²x = csc²x
sen²x = 1/2(1 - cos2x)
cos²x = 1/2(1 + cos2x)
senx cosx = 1/2sen2x
senx cosy = 1/2[sen(x - y) + sen(x + y)]
senx seny = 1/2[cos(x - y) - cos(x + y)]
cosx cosy = 1/2[cos(x - y) + cos(x + y)]
1 - cosx = 2sen²1/2x
1 + cosx = 2cos²1/2x
1 + sen x = 1 + cos(1/2p - x)
1 - sen x = 1 - cos(1/2p - x)

Especialmente importantes son estas dos identidades:
sen x = (2 tan(x/2))/(1  + tan²(x/2))
cos x = (1  - tan²(x/2))/(1  + tan²(x/2))

Haciendo t = tan x/2, nos queda:

sen x = 2t/(1 + t²)
cos x = (1 - t²)/(1 + t²)
dx = 2 dt/(1 + t²)

Con este cambio convertimos las integrales trigonométricas en integrales de funciones racionales, que en muchos casos son más sencillas de resolver.

 

Integrales trigonométricas

Integrales hiperbólicas

Integrales inversas

Integrales en seno

Integrales en coseno

Integrales en seno coseno

Las integrales del tipo òsen^m x cosⁿ x dx se resuelven mediante cambio de variable. 

Si m es impar se hace el cambio cos x = t.

Ejemplo: ò sen³ x cos⁴ x dx = ò sen² x cos⁴ x sen x dx = -ò(1 - cos² x) cos⁴ x sen x dx = -ò(1 - t² ) t⁴ dt = - t⁵/5 + t⁷/7 = - cos⁵ x / 5 + cos⁷ x/7

Si n es impar se hace el cambio sen x = t.

Si m y n son de la misma paridad se hace el cambio tan x = t. 

Las integrales de este tipo también pueden resolverse por el método de integración por partes, haciendo sen^m x cosx = dv y cos^{n - 1} = u. 

Integrales en seno seno

Las integrales del tipo òsen mx sen nx dx se resuelven utilizando las fórmulas trigonométricas.

Si m y n son distintos

òsen mx sen nx dx = 1/2 òcos (m - n) x dx - 1/2 òcos (m + n) x dx

Si m y n son iguales 

òsen²mx dx = 1/2 ò(1 - cos²mx)/2 dx

Integrales en coseno coseno

Las integrales del tipo òcos mx cos nx dx se resuelven utilizando las fórmulas trigonométricas.

Si m y n son distintos

òcos mx cos nx dx = 1/2 òsen (m - n) x dx - 1/2 òsen (m + n) x dx

Si m y n son iguales 

òcos² mx dx = 1/2 ò(1 - sen²mx)/2 dx

 

Integrales en tangente

Integrales de funciones trigonométricas inversas