Límites de funciones
Fecha de primera versión: 17-09-99
Fecha de última actualización: 19/04/2010
Se trata de calcular el valor de una función cuando la variable independiente se acerca a un valor determinado. Lo habitual es que cuando x tiende a una valor (finito o infinito) se obtenga otro valor (finito o infinito) para la función.
Veamos estos casos sencillos:
Límites habituales
Limites finitos en puntos finitos
Este es el caso mas habitual: a cada valor que le damos a la variable x, obtenemos un valor para la función y.
Consideremos la función y = x3 y el punto x = 2.
Hagamos una tabla con los valores de y que obtenemos al dar valores a x desde x = 1,9 hasta x = 2 para valores cada vez mas próximos a x = 2
| x | y |
| 1,9 | 6,86 |
| 1,99 | 7,880599 |
| 1,999 | 7,988005999 |
| 1,9999 | 7,99880006 |
| 1,99999 | 7,9998800006 |
Hagamos una tabla con los valores de y que obtenemos al dar valores a x desde x = 2,1 hasta x = 2 con valores cada vez mas próximos a x = 2
| x | y |
| 2,1 | 9,261 |
| 2,01 | 8,120601 |
| 2,001 | 8,012006001 |
| 2,0001 | 8,00120006 |
| 2,00001 | 8,0001200006 |
Como vemos tanto si nos acercamos a x = 2 por la derecha como por la izquierda el valor de y se acerca a 8 (un numero determinado). Este es el comportamiento habitual de las funciones, pero, en algunos casos no ocurre esto.
Definición
Se dice que la función y = f(x) tiene como limite el numero L, cuando x tiende a x0 si, para cualquier e , mayor que cero, existe un numero positivo d, tal que, para todos los x distintos de x0 que cumplen la condición ½ x - x0½ < d, se cumple que ½ f(x) - L½ < e.
Una función y = f(x) tiene limite en el punto x0, si y solo si, los limites de la función existen y son iguales cuando x tiende a x0 por la derecha y por la izquierda.
Limites infinitos en puntos finitos
La función y = 1/x2 cuando x = 0, tiene un comportamiento diferente, pues el valor de y tiende a infinito a medida que x se acerca a cero, tanto por la derecha como por la izquierda.
| x | y |
| 0,1 | 100 |
| 0,01 | 10000 |
| 0,001 | 1000000 |
| 0,0001 | 100000000 |
| 0,00001 | 10000000000 |
En este caso, cuanto mas nos acercamos a 0 mas crece el valor de y. Se dice que y tiende a infinito.
Definición
La función y = f(x) tiene un limite +infinito o -infinito, cuando x tiende a x0 si para cualquier M positivo, existe un d , mayor que cero, tal que, para todos los x distintos de x0 que cumplen la condición ½ x - x0½ < d, se cumple que ½f(x)½ >M.
Limites en el infinito
Otro caso a estudiar es cuando x se hace muy grande (tiende a infinito). Supongamos la función y = (1 + 1/x). Cuando x se hace muy grande el termino 1/x se hace muy pequeño, por lo tanto y tiende a 1 cuando x tiende a infinito.
| x | y |
| 100 | 1,01 |
| 1000 | 1,001 |
| 10000 | 1,0001 |
| 100000 | 1,000001 |
| 1000000 | 1,0000001 |
Definición
La función y = f(x) tiene un limite L cuando x tiende a +infinito o x tiende a -infinito, si para cualquier e, mayor que cero, es posible encontrar un N, mayor que cero, tal que, para todos los valores de x que cumplen la condición ½x½ > N, se cumple que ½f(x) - L½ < e.
Límites no habituales
Los ejemplos que hemos visto hasta ahora no presentan problemas, pero en algunos casos las cosas se complican.
Son estos casos:
La función tiene un límite cuando nos acercamos por la derecha y otro diferente cuando nos cercamos por la izquierda.
Este es el caso de la siguiente función:
En esta función cuando x se acerca a cero desde los valores positivos de x, el límite es 1; en cambio, cuando x se acerca a cero desde los valores negativos de x, el límite es -1.
La función tiene un límite indeterminado.
Es el caso de la siguiente función:
En este caso la función se hace más y más grande a medida que nos acercamos a cero, pero sin alcanzar un límite concreto.
La función oscila entre dos valores
Es el caso de la función:
En este caso la función oscila entre 1 y -1 y no sabemos decidir cual de los dos números será el límite.
Indeterminaciones
A veces, al calcular el límite de una función nos sale una indeterminación.
Las indeterminaciones son:
( ¥ - ¥
)
( ¥ / ¥
)
(0 / 0)
(0 * ¥ )
(00)
(¥ 0)
(1¥ )
Es evidente que el símbolo ¥ representa un número muy grande pero ya no es tan evidente que los números cero y uno que aparecen en estas expresiones no son exactamente estos números si no números infinitamente próximos a ellos. Por eso, un número infinitamente próximo a 1 elevado a un número infinitamente grande es una indeterminación.
Cuando el resultado de una expresión es una indeterminación tenemos que ingeniárnoslas (haciendo operaciones que no alteren la expresión) para deshacer la indeterminación.
Si la indeterminación es del tipo ¥ /¥ se resuelve dividiendo numerador y denominador por la incógnita elevada a mayor grado.
Ejemplo: lim (4x2 + 5) / (5x2-3) = 4/5
En este ejemploSi es del tipo ¥ - ¥ se resuelve con (a+b)(a-b).
Ejemplo: Lim Ö (x2 + 5) - Ö (x2 - 8) = lim (x2 + 5 - x2 - 8)/ Ö (x2 + 5) + Ö (x2 - 8) = 0 / 1 = 0
Si es 1¥ se resuelve con el numero e = (1+1/a)a.
Ejemplo: Lim (1 + 1 / x2)x = lim [(1 + 1/x2)x^2]1/x = e0 = 1
Una forma muy utilizada de romper las indeterminaciones es el método de l'Hopital.
Este método de romper las indeterminaciones, en realidad se debe a Johann Bernoulli. Johann vendía al marqués de l'Hopital sus trabajos y éste los publicaba como si fuesen suyos.
Cuando la indeterminación es de la forma 0/0 o ¥ / ¥, y las funciones del numerador y del denominador son derivables en el punto que produce la indeterminación, se puede romper la indeterminación derivando las funciones del numerador y del denominador. Dicho matemáticamente:
Cuando la indeterminación es del tipo ¥ - ¥ se puede convertir en 0/0 haciendo esta operación:
f(x) - g(x) = (1/g(x) - 1/f(x))/(1/(f(x)g(x)).
Cuando la indeterminación es del tipo 0 *¥ se puede convertir en 0/0 o ¥ / ¥ haciendo esta operación:
f(x) * g(x) = (g(x))/(1/(f(x)).
Cuando la indeterminación es de la forma 00, ¥ 0 o 1¥ se puede convertir en la forma 0 *¥ aplicando logaritmos a la función, y después se puede resolver aplicando la transformación anterior.