Infinitésimos

Fecha de primera versión: 17-09-99
Fecha de última actualización: 19/04/2010

Todos nos imaginamos un infinitésimo como algo muy pequeño, pero no es sólo eso, además debe ser algo que podamos hacer todo lo pequeño que queramos. Un infinitésimo no es un número

Definición

Un infinitésimo es una función que tiene la característica que cuando x se acerca a determinado valor, la función se acerca a cero.

y = x⁴ cuando x tiende a cero, es un infinitésimo y = Ln x cuando x tiende a uno, es un infinitésimo

Comparación de infinitésimos

Algunas funciones se acercan a cero mas rápidamente que otras.

Para comparar dos infinitésimos, se dividen, si el resultado es un numero real (que no sea cero) los infinitésimos son del mismo orden, si es igual a cero, el infinitésimo del numerador es de orden superior al del denominador, si es infinito, el infinitésimo del numerador es de orden inferior al del denominador.

Si el cociente es un número complejo, cambiamos el numerador por el denominador y si el cociente es 0 el infinitésimo que esta en le numerador (en el segundo cociente) es de orden superior al situado en el denominador, si el segundo cociente sigue siendo complejo, los infinitésimos son incomparables.

Orden de un infinitésimo

Orden de un infinitésimo es el valor numérico, n, del exponente al que hay que elevar la expresión 1/x, para que el cociente entre la función y el resultado de elevar 1/x a la n, sea un número k, distinto de cero y de infinito.

A veces, en lugar de utilizar la expresión 1/x, como unidad de comparación, se utiliza otra función.

Infinitésimos más usuales

Sólo se pueden usar los infinitésimos en productos y cocientes

Cuando x tiende a cero.

sen kx se puede sustituir por kx

tg kx se puede sustituir por kx

e^kx- 1 se puede sustituir por x

a^x- 1 se puede sustituir por xln a

ln(1 + x) se puede sustituir por x

1 - cos x se puede sustituir por x²/2

arcsen x se puede sustituir por x

(1 + x)^m - 1 se puede sustituir por mx

Cuando x tiende a pi/2.