Gradiente

Imaginemos una superficie (por ejemplo la superficie de una montaña). Supongamos que la función z = f(x,y) describe esa superficie. Sea P un punto de coordenadas (x,y,z) en la superficie. Tracemos en ese punto planos paralelos a los de referencia. Sea PS la curva que se forma en el corte de la superficie con el plano paralelo a zy y PR la correspondiente al corte de la superficie con el plano paralelo a xz.

Si derivamos la función z parcialmente respecto a x obtendremos la pendiente de la curva PR. De manera similar, la derivada parcial de z respecto a y nos da la pendiente de la curva PS.

Supongamos que estamos situados en el punto P y queremos obtener la pendiente según una dirección que forma un ángulo a con el eje OX. La pendiente será la derivada según esa dirección y la derivada en esa dirección es:

En general, a cada ángulo a, le corresponderá una pendiente distinta y puede que en una dirección la pendiente sea máxima. Si existe una dirección en la que la pendiente es máxima a esa pendiente se le llama gradiente.

En el caso que nos den una función f(x,y,z) y nos pidan calcular la derivada en el punto (x,y,z) según la dirección (a,b,c) utilizaremos esta fórmula:

La expresión puede expresarse como el siguiente producto escalar:

Evidentemente este producto escalar será máximo cuando los dos vectores tengan la misma dirección.

En análisis vectorial el término se llama gradiente de z.

El gradiente es un vector, de dirección perpendicular a las curvas de nivel de la superficie y sentido el de crecimiento de la función. 

En general a cada punto de la superficie le corresponde un gradiente.