Operación binaria interna

Definición

Una operación binaria interna (también llamada ley de composición interna)  es una aplicación de A x A en A.

Ejemplo: Sea N el conjunto de los números naturales, N x N el producto cartesiano  y apliquemos la función multiplicación. Podemos tomar cualquier par de números naturales, multiplicarlos y obtenemos otro número natural, por lo tanto la función multiplicación es una operación binaria interna.

Ejemplo: La función división no es una operación binaria interna porque se obtienen números que no pertenecen al conjunto de los números naturales.

Propiedades

Asociativa

Ejemplo: Sea N el conjunto de los números naturales, N x N el producto cartesiano  y apliquemos la función multiplicación. Tomemos tres (o más números naturales) a, b y c. Veremos que a x (b x c) = (a x b) x c. La función multiplicación tiene la propiedad asociativa en este ejemplo.
Conmutativa

Ejemplo: Sea N el conjunto de los números naturales, N x N el producto cartesiano  y apliquemos la función multiplicación. Tomemos dos números naturales cualesquiera a y b. Veremos que a x b = b x a. La función multiplicación tiene la propiedad conmutativa.

Distributiva

Ejemplo: Sea N el conjunto de los números naturales, N x N el producto cartesiano  y apliquemos la función multiplicación y la función suma. Cumple esta propiedad porque a x (b + c) = a x b + a x c. 

Elemento neutro

Ejemplo: Sea N el conjunto de los números naturales, N x N el producto cartesiano  y apliquemos la función multiplicación. El 1 es el elemento neutro para la multiplicación, pues a x 1 = a.

Elemento simétrico

Ejemplo: Sea N el conjunto de los números naturales, N x N el producto cartesiano  y apliquemos la función multiplicación. No tiene elemento simétrico porque el número 1/n no pertenece al conjunto de los números naturales.
Elemento regular

Ejemplo: Sea N el conjunto de los números naturales, N x N el producto cartesiano  y apliquemos la función multiplicación. El 1 es el único elemento regular (por la derecha y por la izquierda) porque cumple a x 1 = b x 1 ===> a = b. 

Elemento idempotente

Ejemplo: Sea N el conjunto de los números naturales, N x N el producto cartesiano  y apliquemos la función multiplicación. El 1 es el único elemento idempotente porque 1 x 1 = 1. 
Elemento absorbente

Ejemplo: Sea N el conjunto de los números naturales, N x N el producto cartesiano  y apliquemos la función multiplicación. No tiene elemento absorbente porque no existe ningún número natural que cumpla que para todo número natural a, a x (elemento absorbente) = (elemento absorbente) x a = elemento absorbente.