Grupos

Supongamos que tenemos un conjunto A y que en ese conjunto definimos una operación (que llamaremos *) sobre los elementos del conjunto, de tal manera que para cualquier par de elementos del conjunto A, el elemento resultante de la operación x*y, también pertenece al conjunto A.

Si la operación * tiene la propiedad asociativa x*(y*z) = (x*y)*z, existe un elemento I (llamado elemento neutro) que cumple I*x = x para todos los elementos de A y existe un elemento x' (llamado elemento inverso) que cumple x*x' = I, para todos los elementos de A, entonces se dice que A tiene estructura de grupo para la operación *.

Esta definición es muy abstracta y se comprende mejor con un ejemplo. Sea A el conjunto de los números enteros (Z), y la operación * sea la suma (+). Repasemos ahora la definición: El conjunto de los números enteros y la suma cumple la propiedad asociativa (dados varios números, podemos sumarlos en cualquier orden) , el cero es el elemento neutro y todos los números tienen inverso (el inverso del número a es -a), por lo tanto el conjunto de los números enteros y la operación suma tiene estructura de grupo.

También tiene estructura de grupo el conjunto de los números reales (R) y la operación multiplicación.

Grupo conmutativo (o Abeliano)

Si la operación * tiene la propiedad conmutativa x*y = y*x, entonces el grupos se llama conmutativo (o abeliano) 

Subgrupos

Si un subconjunto B, del conjunto A (que es grupo respecto a una operación) es, a su vez, grupo respecto a la misma operación, entonces se dice que B es un subgrupo.

Otro ejemplo nos aclarará este concepto. El subconjunto de los múltiplos de 2 (en realidad de cualquier número) es un subgrupo.

Orden

Se llama orden de un grupo al número de elementos de un conjunto que tiene estructura de grupo respecto a una operación. El número de elementos del conjunto debe ser finito.