Espacios vectoriales

Fecha de primera versión: 20-09-2001
Fecha de última actualización: 19/04/2010

Definición

Supongamos que tenemos un conjunto A con estructura de cuerpo. A los elementos de A le llamaremos escalares y los nombraremos como a₁, a₂, a₃,... .

El conjunto B (a sus elementos le llamaremos vectores y nombraremos como b₁, b₂, b₃, ...) tiene estructura de espacio vectorial si:

1- El conjunto B tiene estructura de grupo abeliano para una ley de composición interna que llamaremos +.
2- En el conjunto B existe una ley de composición externa (cuyo dominio es el cuerpo A) que cumple lo siguiente:

    Distributiva respecto a la suma de escalares: (a₁ + a₂)b₁ = a₁b₁ + a₂b₁.
    Distributiva respecto a la suma de vectores: a₁(b₁ + b₂) = a₁b₁ + a₁b₂.
    Asociativa respecto a los escalares: a₁(a₂b₁) = (a₁a₂)b1.
    Elemento neutro en B: 1b₁ = b₁.

Combinación lineal de vectores

Un vector es combinación lineal de otros vectores si se puede obtener mediante operaciones de suma de otros vectores.

Por ejemplo: el vector (3,5) es combinación lineal del vector (1,1) y (0,2) pues se puede obtener multiplicando por 3 el vector (1,1) y sumándole el vector (0,2).

Sistema de vectores

Este concepto es muy sencillo. Un sistema de vectores es un conjunto de vectores.

Un sistema de vectores es libre si son linealmente independientes entre si. En caso contrario se dice que es ligado.

Base de un espacio vectorial

Un sistema de vectores libre, que permite generar todos los vectores de su espacio vectorial es una base.

Todo espacio vectorial tiene al menos una base.

El número de elementos de una base de un sistema de vectores se llama dimensión del espacio vectorial.

Por ejemplo: Los vectores (0,0,1), (0,1,0) y (1,0,0) son la base que se utiliza normalmente en un espacio de tres dimensiones.

Coordenadas de un vector

Dada una base de un espacio vectorial, un vector x de ese espacio se representará en función de esa base como x = x₁b₁ + x₂b₂ +... + x_nb_n. Siendo b_i los vectores de la base, x_i son las coordenadas del vector en esa base.

Por ejemplo: Sean b₁ = (0,0,1), b₂ = (0,1,0) y b₃ = (1,0,0) los vectores que forman la base. Un vector x = 3b₁ + 2b₂ + 5b₃ se representa como (3,2,5).

Subespacio vectorial

Para que un subconjunto C (que tiene estructura de espacio vectorial) de B (teniendo B estructura de espacio vectorial sobre el cuerpo A) sea un subespacio vectorial, es necesario y suficiente que cumpla la siguiente condición:

Para todo c₁,c₂ (pertenecientes a C) y para todo a₁,a₂ (pertenecientes a A) se cumpla a₁c₁ + a₂c₂ pertenezca a C.

Espacio vectorial producto

Sean dos espacios vectoriales A y B, sobre el mismo cuerpo C.

Definamos el conjunto A x B formado por pares de vectores tales que el primer elemento pertenece al conjunto A y el segundo al conjunto B.

Definamos la operación + del siguiente modo: (a₁, b₁) + (a₂, b₂) = (a₁ + b₁, a₂ + b₂).

Definamos la operación . del siguiente modo: k.(a₁, b₁) = (k.a₁ + k.b₁), siendo k cualquier número del cuerpo C.

El conjunto A x B tiene estructura de espacio vectorial y se llama espacio vectorial producto.

La dimensión del espacio vectorial producto es la suma de las dimensiones de los espacios vectoriales de A y B.

Espacio vectorial cociente

Sea A un espacio vectorial y B un subespacio de A.

Definamos una relación binaria a₁R a₂ de la siguiente forma: a₁- a₂pertenece a B. Esta relación binaria es una relación de equivalencia

Llamemos A / B al conjunto formado por las clases de equivalencia.

Definamos la operación + del siguiente modo: C(x) + C(y) = C(x + y).

Definamos la operación . del siguiente modo: k.C(x) = C(k.x)