Anillos

Supongamos que tenemos un conjunto A y que en ese conjunto definimos dos operaciones (que llamaremos + y *) sobre los elementos del conjunto, de tal manera que para cualquier par de elementos del conjunto A, los elementos resultantes de las operaciones x+y, y,  x*y  también pertenece al conjunto A.

Si la operación + tiene la propiedad asociativa x + (y + z) = (x + y) + z, tiene la propiedad conmutativa, x + y = y + x, existe un elemento 0 (llamado elemento neutro) que cumple 0 + x = x para todos los elementos de A, existe un elemento x' (llamado elemento inverso) que cumple x + x' = 0, si la operación * tiene la propiedad asociativa x*(y*z) = (x*y)*z y tiene la propiedad distributiva x*(y + z) = x*y + y*z, para todos los elementos de A, entonces se dice que A tiene estructura de anillo para las operaciones + y *.

Esta definición es muy abstracta y se comprende mejor con un ejemplo. Sea A el conjunto de los números reales (R), y la operación + sea la suma y la operación * sea la multiplicación. Repasemos ahora la definición y veremos que el conjunto de los números reales tiene estructura de anillo.

Si existe un elemento 1 que cumple x*1 = x se dice que el anillo tiene una unidad.

Anillos conmutativos

Si el conjunto A tiene, además, la propiedad conmutativa respecto a la operación *, entonces el conjunto A tiene estructura de anillo conmutativo.