Forma normal de una matriz

Toda matriz de rango n es equivalente a:

    La matriz identidad de rango n.
    La matriz identidad complementada por filas cero.
    La matriz identidad complementada por columnas cero.
    La matriz identidad complementada por matrices cero.

Si mediante transformaciones elementales convertimos una matriz en uno de los tipos anteriores diremos que hemos puesto la matriz en su forma normal.

Como es una matriz de 3 x 4 complementamos la matriz de la siguiente forma:

 1   0   0   1    0    2   -1   1   0   0   0
 0   1   0   3    1    1    0   0   1   0   0
 0   0   1  -1    1   -6    2   0   0   1   0
                                0   0   0   1

Se trata de convertir la matriz original en una de las formas normales. Vamos a convertirla en  

 1    0    0    0
 0    1    0    0
 0    0    1    0

Empezaremos convirtiendo el 3 (fila 2 columna 1) en 0. Para ello multiplicamos la primera fila por -3 y se la sumamos a la segunda fila. Como esta transformación afecta a una fila hacemos la transformación también en la matriz identidad de las filas. Nos quedará:

  1   0   0   1    0    2   -1   1   0   0   0
 -3   1   0   0    1   -5    3   0   1   0   0
  0   0   1  -1    1   -6    2   0   0   1   0
                                 0   0   0   1

Ahora convertimos el -1 (fila 3 columna 1) en 0. Para ello multiplicamos la primera fila por 1 y se la sumamos a la tercera fila. Como esta transformación afecta a una fila hacemos la transformación también en la matriz identidad de las filas. Nos quedará:

  1   0   0   1    0    2   -1   1   0   0   0
 -3   1   0   0    1   -5    3   0   1   0   0
  1   0   1   0    1   -4    1   0   0   1   0
                                 0   0   0   1

Ahora convertimos el 2 (fila 1 columna 3) en 0. Para ello multiplicamos la primera columna por -2 y se la sumamos a la tercera columna. Como esta transformación afecta a una columna hacemos la transformación también en la matriz identidad de las columnas. Nos quedará:

  1   0   0   1    0    0   -1   1   0  -2   0
 -3   1   0   0    1   -5    3   0   1   0   0
  1   0   1   0    1   -4    1   0   0   1   0
                                 0   0   0   1

Ahora convertimos el -1 (fila 1 columna 4) en 0. Para ello multiplicamos la primera columna por 1 y se la sumamos a la tercera columna. Como esta transformación afecta a una columna hacemos la transformación también en la matriz identidad de las columnas. Nos quedará:

  1   0   0   1    0    0    0   1   0  -2   1
 -3   1   0   0    1   -5    3   0   1   0   0
  1   0   1   0    1   -4    1   0   0   1   0
                                 0   0   0   1

Ahora convertimos el 1 (fila 3 columna 2) en 0. Para ello multiplicamos la segunda fila por 1 y se la sumamos a la tercera fila. Como esta transformación afecta a una fila hacemos la transformación también en la matriz identidad de las filas. Nos quedará:

  1   0   0   1    0    0    0   1   0  -2   1
 -3   1   0   0    1   -5    3   0   1   0   0
  4  -1   1   0    0    1   -2   0   0   1   0
                                 0   0   0   1

Ahora convertimos el -5 (fila 2 columna 3) en 0. Para ello multiplicamos la segunda columna por 5 y se la sumamos a la tercera columna. Como esta transformación afecta a una columna hacemos la transformación también en la matriz identidad de las columnas. Nos quedará:

  1   0   0   1    0    0    0   1   0  -2   1
 -3   1   0   0    1    0    3   0   1   5   0
  4  -1   1   0    0    1   -2   0   0   1   0
                                 0   0   0   1

Sólo nos quedan dos números por convertir.

Ahora convertimos el 3 (fila 2 columna 4) en 0. Para ello multiplicamos la segunda columna por -3 y se la sumamos a la cuarta columna. Como esta transformación afecta a una columna hacemos la transformación también en la matriz identidad de las columnas. Nos quedará:

  1   0   0   1    0    0    0   1   0  -2   1
 -3   1   0   0    1    0    0   0   1   5  -3
  4  -1   1   0    0    1   -2   0   0   1   0
                                 0   0   0   1

Ahora convertimos el -2 (fila 3 columna 4) en 0. Para ello multiplicamos la tercera columna por 2 y se la sumamos a la cuarta columna. Como esta transformación afecta a una columna hacemos la transformación también en la matriz identidad de las columnas. Nos quedará:

  1   0   0   1    0    0    0   1   0  -2  -3
 -3   1   0   0    1    0    0   0   1   5   7
  4  -1   1   0    0    1    0   0   0   1   2
                                 0   0   0   1

Y ya está. La forma normal de la matriz original es:

 1    0    0    0
 0    1    0    0
 0    0    1    0