Factorización LU
Fecha de primera versión: 31-01-02
Fecha de última actualización:
19/04/2010
Factorizar una matriz consiste en descomponerla en dos matrices cuyo producto es la matriz original.
En este método se descompone la matriz A en dos matrices L (low) y U (up). A = LU
La factorización es útil para la resolución de sistemas de ecuaciones.
Sea el sistema de ecuaciones representado por AX = C. Sustituyendo A por LU, nos queda LUX = C.
Calculando el producto UX = Y, y sustituyendo en LUX = C nos queda LY = C. De aquí podemos calcular el valor de Y y entonces sustituyéndolo en UX = Y podemos calcular X.
Toda matriz cuadrada, cuyos menores principales son todos no nulos, puede descomponerse en la forma A = LU.
Ejemplo: Factorización LU de la matriz 1 0 2 -1Complementamos la matriz con la matriz identidad por la izquierda:
1 0 0 0 1 0 2 -1
0 1 0 0 3 1 1 0
0 0 1 0 -1 1 -6 2
0 0 0 1 0 -1
1 1
Empezaremos haciendo ceros en la cuarta columna, para ello sumamos la primera fila y la tercera:
1 0 0 0 1 0 2 -1
0 1 0 0 3 1 1 0
1 0 1 0 0
1 -4 1
0 0 0 1 0 -1
1 1
Ahora multiplicamos la primera fila por 3 y se la restamos a la segunda.
1 0 0 0 1 0 2 -1
-3 1 0 0 0 1 -5
3
1 0 1 0 0
1 -4 1
0 0 0 1 0 -1
1 1
Ahora hacemos lo mismo con la sexta columna. Operamos igual que antes pero sin hacer las operaciones en la primera columna (que es la que hemos utilizado antes). Sumando la segunda fila a la cuarta queda:
1 0 0 0 1 0 2 -1
-3 1 0 0 0 1 -5
3
1 0 1 0 0
1 -4 1
0 1 0 1 0
0 -4 4
Restando la segunda fila a la tercera (sin tocar la primera columna):
1 0 0 0 1 0 2 -1
-3 1 0 0 0 1 -5
3
1 -1 1 0 0
0 1 -2
0 1 0 1 0
0 -4 4
Sólo nos queda convertir el -4 en cero. Hacemos lo mismo pero sin hacer las operaciones en la primera y segunda columna. Multiplicando la tercera fila por 4 y sumándola a la cuarta queda:
1 0 0 0 1 0 2 -1
-3 1 0 0 0 1 -5
3
1 -1 1 0 0
0 1 -2
0 1 4 1 0
0 0 -4
Para obtener la matriz L se cambia el signo a los elementos del triángulo inferior.
1 0 0 0 1 0 2 -1
3 1 0 0 0 1 -5
3
-1 1 1 0 0
0 1 -2
0 -1 -4 1 0
0 0 -4