Conceptos fundamentales de matrices

Fecha de primera versión: 22-09-01
Fecha de última actualización: 22-09-01

Orden de una matriz

Una matriz de m filas y n columnas se dice que es de orden m x n.

Menor complementario

Menor complementario del elemento a_ij es el determinante de la matriz formada al suprimir la fila y la columna en la que esta el elemento a_ij.

El menor complementario de a_ij es a_ij.

Por ejemplo en la matriz

1    1    2 
1    2    0 
1    0    4 

el menor complementario del elemento a₁₁ es 8.

Adjunto de un elemento

Es el determinante de la matriz formada aplicando esta fórmula (-1)^i+ja_ij.

Menor de una matriz

Dada una matriz, se puede obtener, suprimiendo algunas filas y columnas, otras matrices que se llaman submatrices. Si la submatriz es cuadrada y tiene k filas (también tendrá k columnas), a su determinante se llama menor de orden k de la matriz dada.

Si el menor de orden k es distinto de cero, y todos los menores de orden k + 1 son cero, o no existen, a ese menor se llama menor principal de orden k.

Rango de una matriz

El rango de una matriz es el número de vectores linealmente independientes. 

Por ejemplo en la matriz

1    1    2    2    -1
1    2    0    3     1
1    0    4    1    -3
2    1    6    3    -4

La tercera fila es combinación lineal de la primera y segunda (dos veces la primera menos la segunda). La cuarta fila también es combinación lineal de la primera y de la segunda (tres veces la primera menos la segunda). Por lo tanto podemos suprimir la tercera y cuarta fila de la matriz. Por lo tanto el rango de la matriz es 2. 

Traza de una matriz cuadrada

Es la suma de los elementos de la diagonal.

Por ejemplo en la matriz

1    1    2    2 
1    2    0    3 
1    0    4    1 
2    1    6    3

la traza es 1 + 2 + 4 + 3 = 10