Autovalores y autovectores
Fecha de primera versión: 22-09-01
Fecha de última actualización: 22-09-01
Vectores propios (autovector) y valores propios (autovalor)
Un vector X (distinto de cero) es un vector propio de la matriz A
si se cumple AX =lX. El número l
se llama valor propio. Los vectores propios también se llaman autovectores
y los valores propios autovalores.
Desarrollando la expresión AX =lX
obtenemos el sistema:
(a11 - l)x1
+ a12x2 + ... + a1nxn = 0
a21x1 + (a22- l)x2 + ... + a2nxn = 0
..........................................
an1x1 + an2x2
+ ... + (ann- l)xn
= 0
El polinomio que se obtiene al desarrollar el determinante A - lI
se llama polinomio característico de la matriz A.
Utilizando la definición de vector propio AX =lX,
obtenemos X(A - l) = 0 obtenemos los
vectores propios.
Calcular los autovalores de la matriz
1 2 0
-1 3 1
0 1 1
Tenemos que calcular el determinante de la matriz:
1 - l
2 0
-1 3 - l
1
0
1 1 - l
que es (1 - l)2(
3 - l) + (
3 - l) e igualarlo a cero. Al resolver
la ecuación se obtienen los valores l =
1 y l = 2.
Calcular los autovectores de la matriz
1 2 0
-1 3 1
0 1 1
Partiendo de los autovalores obtenidos en el ejemplo anterior tenemos:
Para l =
1
0 2 0 0
(x1 x2 x3) -1
2 1 = 0
0 1 0
0
Nos queda:
-x2 = 0
2x1 + 2x2 + x3 = 0
