Sistemas de ecuaciones lineales

A los términos a₁₁, a₁₂, ... a_1n, a₂₂, ... (en general a_ij) se les llama coeficientes y a los términos b₁, b₂, ... b_m se les llama términos independientes. Cuando todos los términos independientes son cero el sistema se llama homogéneo. Una solución de estos sistemas es xi = 0 (esta solución se llama solución trivial y las soluciones distintas de cero se llaman soluciones no triviales).

Un conjunto de valores s₁, s₂, ... s_n tal que si sustituimos s₁ por x₁, s₂ por x₂, ... y s_n por x_n se cumplen las ecuaciones, se llama conjunto solución.

Métodos de resolución (igual número de ecuaciones que incógnitas)

Método de eliminación por substitución

2x - 3y = 5
  x -  y = 2

consiste en despejar una incógnita en una de las ecuaciones y sustituirla en la otra.

x = 2 + y

2(2 + y) = 5. Resolviendo esta ecuación obtenemos y = -1 y sustituyendo este valor en uan de las ecuaciones obtenemos el valor de la otra incógnita.

Método de eliminación por igualación

2x - 3y = 5
  x -  y = 2

Despejando x en la primera ecuación x = (5 + 3y)/2 y en la segunda x = 2 + y

Igualando (5 + 3y)/2 = 2 + y. Resolviendo la ecuación obtenemos y = -1 y sustituyendo este valor en cualquiera de las ecuaciones obtenemos x = 1.

Método de eliminación por reducción

2x - 3y = 5
  x -  y = 2

Multiplicando la segunda ecuación por -2, queda:

 2x - 3y = 5
-2x + 2y = -4

sumando las dos ecuaciones obtenemos -y = 1. Luego y = 1 y sustituyendo este valor en cualquiera de las ecuaciones tenemos que x = 1.

Método de Cramer

Sea el sistema de ecuaciones lineales:

a₁₁x₁ + ... + a_1nx_n = b₁

a₂₁x₁ + ... + a_2nx_n = b₂

....................................

a_m1x₁ + ... + a_mnx_n = b_m

Los coeficientes de este sistema se pueden escribir de esta forma:

y los valores de las soluciones serán:

y de manera similar para el resto de las incógnitas.

Examinando estas fórmulas podemos sacar las siguientes conclusiones:

1- Si el denominador es distinto de cero el sistema tiene solución única (se dice que el sistema es compatible y determinado).
2- Si el denominador es igual a cero y el numerador distinto de cero el sistema no tiene solución (se dice que el sistema es incompatible).
3- Si el denominador y el numerador son ambos iguales a cero el sistema tiene infinitas soluciones (se dice que el sistema es indeterminado).

Método de Gauss

El método de Gauss consiste en convertir la matriz del sistema de ecuaciones en otra triangular (con ceros por encima o por debajo de la diagonal).

donde la última columna representa los términos independientes del sistema de ecuaciones.

Se trata de hacer ceros por debajo de la diagonal principal. Vamos a convertir en ceros todos los elementos de la primera columna (excepto el de la primera fila, este elemento se llama elemento pivote). 

Restando a la segunda fila la primera nos queda:
1   1   1   1  -1
0  -2   1   0   5
2   0   1   1   2
4   2  -1   2  -3

Multiplicando la primera fila por -2 y sumando el resultado a la tercera fila nos queda:

1   1   1   1  -1
0  -2   1   0   5
0  -2  -1  -1   4
4   2  -1   2  -3

Multiplicando la primera fila por -4 y sumando el resultado a la cuarta fila nos queda:

Vamos a convertir en ceros todos los elementos de la segunda columna (excepto el de la primera y segunda fila, este elemento se llama elemento pivote).

Multiplicando la segunda fila por -1 y sumando el resultado a la tercera fila nos queda:
1   1   1   1  -1
0  -2   1   0   5
0   0  -2  -1  -1
0  -2  -5  -2   1

Multiplicando la segunda fila por -1 y sumando el resultado a la cuarta fila nos queda:
1   1   1   1  -1
0  -2   1   0   5
0   0  -2  -1  -1
0   0  -6  -2  -4

Vamos a convertir en ceros todos los elementos de la tercera columna (excepto el de la primera, segunda y tercera fila, este elemento se llama elemento pivote).

Multiplicando la tercera fila por -3 y sumando el resultado a la cuarta fila nos queda:
1   1   1   1  -1
0  -2   1   0   5
0   0  -2  -1  -1
0   0   0   1  -1

Y ya está. De la última fila obtenemos que x₄ = -1. Sustituyendo este valor en la tercera fila obtenemos -2x₃ = -2 y por lo tanto x₃ = 1. Sustituyendo estos valores en la segunda fila, obtenemos x₂ = -2 y haciendo lo mismo en la primera fila obtenemos x₁ = 1.

El método de Gauss tiene dos variantes. El método del pivote parcial y el método del pivote total.  

El método del pivote parcial consiste en elegir como pivote el elemento de mayor valor absoluto de la columna con la que estemos trabajando.

El método del pivote total consiste en elegir como pivote el elemento de mayor valor absoluto de la fila y columna con la que estamos trabajando.

Método de factorización LU

Se trata de convertir la matriz de coeficientes del sistema de ecuaciones en producto de dos matrices triangulares.

Por ejemplo: supongamos el sistema representado por:

donde la última columna representa los términos independientes del sistema de ecuaciones.

Lo primero que se hace es completar la matriz de coeficientes con la matriz identidad

1   0   0   0   1   1   1   1  
0   1   0   0   1  -1   2   1 
0   0   1   0   2   0   1   1 
0   0   0   1   4   2  -1   2 

Tenemos que obtener dos matrices: una con ceros en la parte superior de la diagonal y ora con ceros en la parte inferior. Vamos a poner ceros en la quinta columna (excepto el término de la primera fila). Restando a la segunda fila la primera nos queda:
 1   0   0   0   1   1   1   1  
-1   1   0   0   0  -2   1   0  
 0   0   1   0   2   0   1   1  
 0   0   0   0   4   2  -1   2  

Multiplicando la primera fila por -2 y sumando el resultado a la tercera fila nos queda:
 1   0   0   0   1   1   1   1  
-1   1   0   0   0  -2   1   0  
-2   0   1   0   0  -2  -1  -1  
 0   0   0   1   4   2  -1   2  

Multiplicando la primera fila por -4 y sumando el resultado a la cuarta fila nos queda:
 1   0   0   0   1   1   1   1  
-1   1   0   0   0  -2   1   0  
-2   0   1   0   0  -2  -1  -1  
-4   0   0   1   0  -2  -5  -2  

Vamos a convertir en ceros todos los elementos de la sexta columna (excepto el de la primera y segunda fila). Multiplicando la segunda fila por -1 y sumando el resultado a la tercera fila (no se trata la primera columna) nos queda:

 1   0   0   0   1   1   1   1  
-1   1   0   0   0  -2   1   0  
-2  -1   1   0   0   0  -2  -1  
-4   0   0   1   0  -2  -5  -2  

Multiplicando la segunda fila por -1 y sumando el resultado a la cuarta fila nos queda:
 1   0   0   0   1   1   1   1  
-1   1   0   0   0  -2   1   0  
-2  -1   1   0   0   0  -2  -1  
-4  -1   0   1   0   0  -6  -2  

Vamos a convertir en ceros todos los elementos de la séptima columna (excepto el de la primera, segunda y tercera fila). Multiplicando la tercera fila por -3 y sumando el resultado a la cuarta fila (no se trata la primera y segunda columna) nos queda:
 1   0   0   0   1   1   1   1  
-1   1   0   0   0  -2   1   0  
-2  -1   1   0   0   0  -2  -1  
-4  -1  -3   1   0   0   0   1

Ahora tomamos las cuatro primeras columnas, le cambiamos el signo a los elementos que están debajo de la diagonal y formamos la matriz

 1   0   0   0   
 1   1   0   0   
 2   1   1   0   
 4   1   3   1

Ahora resolvemos el sistema que representa esta matriz de coeficientes con los términos independientes del problema original (-1, 4, 2, -3).

La solución a este sistema es x₁ = -1, x₂ = 5, x₃ = -1 y x₄ = -1.

Ahora tomamos las cuatro ultimas columnas y formamos la matriz

1   1   1   1  
0  -2   1   0  
0   0  -2  -1  
0   0   0   1   

La solución a este sistema es x₁ = 1, x₂ = -2, x₃ = 1 y x₄ = -1.

Métodos de resolución (mayor número de ecuaciones que incógnitas)

En este caso se toman tantas ecuaciones como incógnitas y se resuelve el sistema. A continuación se sustituyen los valores obtenidos como soluciones en las ecuaciones que no hemos utilizado en la resolución. Si los valores no satisfacen las ecuaciones el sistema es imposible o incompatible.

Métodos de resolución (menor número de ecuaciones que incógnitas)

En este caso el sistema es indeterminado. Esto quiere decir que no podemos obtener una solución concreta. Sólo podemos suponer que conocemos el valor de algunas incógnitas y dar la solución en función de éstas.

2x - 3y + z  = 5
  x -  y  - 2z = 2

suponemos que conocemos el valor de z.

Multiplicando la segunda ecuación por -2 y sumando nos queda y = 1 - 5z y sustituyendo este valor en una de las ecuaciones nos queda x = 3 - 3z.