Inecuaciones

Fecha de primera versión: 24-10-99
Fecha de última actualización: 30-08-01

Definición:

Una inecuación es una expresión de la forma: f(x) < g(x), f(x) £ g(x), f(x) > g(x) o f(x) ³ g(x).

La resolución de las inecuaciones es muy parecida a la resolución de las ecuaciones.

5x + 6 < 3x - 8
5x - 3x < -8 - 6
2x < -14
x < -7

Todos los valores de x menores que -7 (es decir desde -7 hasta -¥ ) satisfacen la inecuación.

Es muy importante tener en cuenta que si multiplicamos por un numero negativo una inecuación tenemos que cambiar el signo de la desigualdad.

3x > -2
-9x < 6
x < -2/3

Sistemas de inecuaciones de primer grado con una incógnita.

Se resuelven por separado las inecuaciones y se toman como soluciones los intervalos comunes de las soluciones

5x + 6 < 3x - 8
3x > 2

La solución de la primera ecuación es:

5x - 3x < -8 - 6
2x < -14
x < -7

La solución de la segunda ecuación es:

3x > -2
x < -2/3

La solución del sistema sería x < -7.

Un problema muy bonito:

Un carpintero hizo cierto numero de mesas. Vende 70 y le quedan por vender más de la mitad. Hace después 6 mesas más y vende 36 quedándole menos de 42 mesas por vender ¿cuantas mesas ha hecho el carpintero? x - 70 > x/2
x - 70 + 6 - 36 < 42 Operando en la primera ecuación queda x > 140 y operando en la segunda queda x < 142, luego la solución es x = 141.

Inecuaciones de segundo grado.

Se resuelve como una ecuación de segundo grado y se estudian los signos que obtenemos con las soluciones.

x² - 5x + 6 > 0

Las soluciones de la ecuación x² - 5x + 6 = 0 son x = 3 y x = 2. Por lo tanto x² - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3).

Tenemos que estudiar los signos cuando x toma valores desde -¥ hasta 2, desde 2 hasta 3 y desde 3 hasta ¥ .

x - 2 es negativo para los valores entre -¥ y 2.
x - 2 es positivo para los valores entre 2 y 3.
x - 2 es positivo para los valores entre 3 e ¥ .
x - 3 es negativo para los valores entre -¥ y 2.
x - 3 es negativo para los valores entre 2 y 3.
x - 3 es positivo para los valores entre 3 e ¥ .

Por lo tanto, multiplicando los signos en los mismos intervalos:

x² -5x + 6 es positivo para los valores entre -¥ y 2.
x² - 5x + 6 es negativo para los valores entre 2 y 3.
x² - 5x + 6 es positivo para los valores entre 3 e ¥ .

Inecuaciones de grado superior a dos

Se descomponen en inecuaciones de grado uno y dos.

Inecuaciones fraccionarias

Son las inecuaciones en las que tenemos la incógnita en el denominador.

Se pasan todos los términos a un lado del signo de desigualdad y se reducen a común denominador.

Después se buscan las soluciones y estudiamos el signo (como en el caso de las ecuaciones de segundo grado). Hay que tener en cuenta que las soluciones que anulan el denominador no valen.

Inecuaciones con valor absoluto

Se resuelven convirtiendo la función valor absoluto en dos inecuaciones

|x - 3| > 3